Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений [1].

К элементарным преобразованиям относятся:

1) перестановка двух строк (столбцов);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;

3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.

Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:

где ≠ 0.

Тогда можно вынести множитель :

теперь, вычитая из элементов j-го столбца соответствующие элементы первого столбца, умноженные на , получим определитель:

который равен: где

Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:

Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы в так, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что ). Тогда знак соответствующего определителя равен .

П р и м е р . С помощью элементарных преобразований привести матрицу

к треугольному виду.

Р е ш е н и е . Сначала умножим первую строку матрицы на 4, а вторую на (–1) и прибавим первую строку ко второй:

Теперь умножим первую строку на 6, а третью на (–1) и прибавим первую строку к третьей:

Наконец, умножим 2-ю строку на 2, а 3-ю на (–9) и прибавим вторую строку к третьей:

В результате получена верхняя треугольная матрица

Пример. Решить систему линейных уравнений, используя матричный аппарат:

Р е ш е н и е. Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:

где

Решение данной системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:

где – матрица, обратная к матрице А.

Определитель матрицы коэффициентов А равен:

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу .

Сначала найдем присоединенную матрицу Ã, которая в данном примере имеет вид:

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

В нашем случае получим:

Таким образом,

Тогда обратная матрица равна:

Теперь найдем решение заданной системы уравнений. Так как, то

Таким образом, решение данной системы уравнений:

Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975. – 400 с.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.