Для кодирования знака двоичного числа используется старший ("знаковый") разряд (ноль соответствует плюсу, единица - минусу). Такая форма представления числа называется прямым кодом. Формула для образования прямого кода правильной дроби имеет вид:
Примеры: A = 0,110111 --> [A]пр = 0,110111 A = -0,110111 --> [A]пр = 1 - (-0,110111) = 1,110111
Прямой код целого числа получается по формуле:
где 10 - число 2 в двоичной системе счисления, n - количество позиций в разрядной сетке.
Например, при n=8 A = 110111 --> [A]пр = 00110111 A = -110111 --> [A]пр = 10000000 - (-110111) = 10110111
В ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.
Формула для образования дополнительного кода дроби:
[A]доп = 10 + A.
Формула для образования обратного кода дроби:
[A]обр = 10 - 10-(n-1) + A.
Например, при n = 8, для A = -0,1100001 [A]доп = 10 + (-0,1100001) = 1,0011111 [A]обр = 10-10-7+(-0,1100001) = 1,1111111-0,1100001 = 1,0011110.
Формула для образования дополнительного кода целого числа:
[A]доп = 10n + A.
Формула для образования обратного кода целого числа:
[A]обр = 10n - 1 + A.
Например, при n = 8, для A = -1100001 [A]доп = 100000000 + (-1100001) = 10011111 [A]обр = 100000000-1+(-1100001) = 11111111-1100001 = 10011110.
Таким образом, правила для образования дополнительного и обратного кода состоят в следующем: - для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 - на 1), после чего прибавить 1 к младшему разряду; - для образования обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать.
Примечание: при данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.
Прямой код можно получить из дополнительного и обратного по тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и обратного кодов.
Замена вычитания двоичных чисел A1 - A2 сложением с дополнениями [A1]пр + [-A2]доп или [A1]пр + [-A2]обр позволяет оперировать со знаковыми разрядами так же, как и с цифровыми. При этом перенос из старшего знакового разряда, если он возникает, учитывается по разному для обратного и дополнительного кодов: - при использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда отбрасывается; - при использовании обратного кода единица переноса из знакового разряда прибавляется к младшему разряду суммы (осуществляется так называемый циклический перенос).
Пример: складываем числа A1=0,10010001 и A2= -0,01100110
Если знаковый разряд результата равен нулю, то в получено положительное число, которое представлено в прямом коде. Если в знаковом разряде единица, то результат отрицательный и представлен в обратном или дополнительном коде.
Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении бинарных операций, перед переводом чисел в обратные и дополнительные коды необходимо выравнивать количество разрядов прямого кода операндов.
При сложении чисел, меньших единицы, в машине быть получены числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбинация 00, а знаку "минус" - комбинация 11.
Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.
Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях содержит истинное значение знака суммы, а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда. После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок результата.
