Предположим, что нам надо доказать теорему G: ($x)("y)(yx=y), т.е. что в группе существует правая единица.
Наша задача–установить, что формула G есть логическое следствие формул F1, F2, F3. Прежде, чем решать эту задачу, перейдем к другой сигнатуре. Введем символ трехместного предика P, который интерпретируется следующим образом:
P(x,y,z) означает, что xy=z.
В новой сигнатуре формулы F1, F2, F3 и G запишутся так:
Сформулируем множество T={F1,F2,F3,ØG}, каждую из формул этого множества приведем к сколемовской нормальной форме и удалим кванторы общности (конъюнкция в сколемовских нормальных формах не появится). Получим множество дизъюнктов D1,D2,D3,D4:
Построим вывод пустого дизъюнкта из множества дизъюнктов D1,...,D4. Пусть эти дизъюнкты–первые дизъюнкты вывода. Заменим переменные в дизъюнкте D2, получим дизъюнкт D2/=P(f(x/,y/),x/,y/). Литералы P(x,y,u) и D2/ унифицируются подстановкой s1={x=f(x/,y/),y= x/, u=y/}. Применим правило резолюций к D1 и D2 (и указанным литералам), получим дизъюнкт
D5="P(x/,,z,v)ÚØP(f(x/,y/)v,w)ÚP(y/,z,w).
Далее, литерал P(f(x/,y/),v,w) и D2 унифицируются подстановкой s2={x/=x,y/=y,v=x,w=y}. Правило резолюций, примененное к D1 и D2, дает дизъюнкт
D6=ØP(x,z,x)ÚP(y,z,y).
Резольвентой дизъюнктов D3 и D6 будет дизъюнкт
D7=P(y,g(y/,y/),y).
(Для получения этой резольвенты заменим переменные в D3, получим D3=P(x/,g(x/,y/),y/) и используем подстановку s3={x=y/,z=g(y/,y/)}. Наконец, из дизъюнктов D4 и D7 с помощью подстановки s4={y=h(g(y/,y/)), x=g(y/,y/)} получаем пустой дизъюнкт.
Планирование действий. Отметим вначале одно свойство метода резолюций. Пусть сигнатура t состоит из двух символов двухместных предикатов P и Q, которые интерпретируются следующим образом: P(x,y) означает, что х–сын y, Q(x,z) означает, что х–внук z. Рассмотрим формулы:
Используя метод резолюций, покажем, что G есть логическое следствие F1 и F2. Приведем формулы F1,F2 и ØG к сколемовской нормальной форме, получим дизъюнкты:
Вывод пустого дизъюнкта получается довольно просто:
D4=ØP(a,y)ÚØP(y,z)
((D1 D3, {x=a}),
D5=ØP(f(a),z)
(D2 D4 {x=a, y=f(a)}),
D6=□
( D2 D5, {x=f(a),z=f(a))}.
Подстановка z=f(f(a)) означает, что дед элемента a есть отец элемента a. Таким образом, метод резолюций не только устанавливает факт логического следствия формулы G из формул F1 и F2, но еще и «подсказывает», как по данному х получить z такой, чтобы формула Q(x,z) была истинна.
Довольно часто интересующая нас переменная участвует не в одной подстановке, как в этом примере переменная z, а в нескольких. Для того, чтобы отследить все подстановки, в которых может изменить значение переменная, к формуле ØG добавляют литерал ответа ANS(z) и заканчивают вывод не пустым дизъюнктом, а литералом ответа.
В качестве примера использования метода резолюций в задачах планирования действий рассмотрим известную в теории искусственного интеллекта задачу об обезьяне и бананах. В задаче говорится об обезьяне, которая хочет съесть бананы, подвешенные к потолку комнаты. Рост обезьяны недостаточен, чтобы достать бананы. Однако в комнате есть стул, встав на который обезьяна может достать бананы. Какие ей надо совершить действия, чтобы достать бананы?
Задачу формализуем следующим образом. Комнату с находящимися в ней обезьяной, стулом и бананами будем называть предметной областью. Конкретной местонахождение в комнате обезьяны, стула и бананов будем называть состоянием предметной области. Рассмотрим два предиката P(x,y,z,s) R(z). Пусть
P(x,y,z,s)
означает, что в состоянии s обезьяна находится в точке x, стул – в y, бананы – в z,
R(s)
означает, что в состоянии s обезьяна взяла бананы.
Возможности обезьяны формализуем следующим образом. Введем три функции, которые принимают значения в множестве состояний:
ИДТИ(x,y,s)
– состояние, которое получится из s, если обезьяна из точки x перешла в y,
НЕСТИ(x,y,s)
– состояние, которое получится из s, если обезьяна перенесла стул из точки x в y,
БРАТЬ(s)
– состояние, которое получится из s, если обезьяна взяла бананы.
Условия задачи запишутся в виде следующих формул:
F1=("x,y,z,s))[P(x,y,z,s)®P(u,y,z, (x,,,u,s))],
F2=("x,z,s)[P(x,x,z,s)®P(u,u,s, (x,u,s)],
F3=("x)[P(x,x,x,s)®R( (s))].
Пусть в начальном состоянии s0 обезьяна находилась в точке а, стул–в точке b, бананы–в точке c. Следовательно, к написанным формулам надо добавить формулу
F4=P(a,b,c,s0).
Надо показать, что формула G=($s)R(s) есть логическое следствие формул F1,F2,F3,F4. Из множества формул F1,F2,F3,F4,ØG получим множество дизъюнктов D1–D5 (к дизъюнкту, полученному из ØG добавлен литерал ответа ANS(s)):
Итак, для того, чтобы обезьяне взять бананы, надо сначала из точки а идти в точку b, затем из точки b нести стул в точку с и в точке с, встав на стул, взять бананы.
