Истинность составных предикатов.

Тема: Предикаты или высказывательная форма

1. Предикаты.

2. Значения истинности составных предикатов.

Определение:

Предикатомназывается повествовательное предложение, содержащее переменную, которая обращается в высказывание при постановки вместо переменных их значений.

А(х), В(х) – одноместный предикат.

С(х,у) – двухместный предикат.

С любым предикатом связаны 2 множества; первое – область определения предиката (х) – те значения переменной, при которых предикат обращается в высказывание, второе – множество истинности (Т) предиката – множество значений переменной из области определения, при которых предикат обращается в истинное высказывание.

Некоторые предикаты используются в математике:

f(x)=g(x) – уравнение

f(x)><g(x) – неравенство.

Множества истинности предиката в математике называются множеством решений уравнений или неравенств.

Предикаты бывают элементарными и составными.

Составные образуются из элементарных с помощью связок.

Истинность составных предикатов.

1. «А(х) и В(х)» - конъюнкция А(х) ˄ В(х)

Конъюнкция истинна при тех значениях переменной из области определения, при которых оба предиката истинны, в остальных случаях конъюнкция предиката ложна.

Т_А – множество истинности А(х).

Т_В – множество истинности В(х).

Т_{А ˄ В}= Т_А∩Т_В

2. «А(х) или В(х)» – дизъюнкция А ˅ В.

Дизъюнкция ложна при тех значениях переменной из области переменной из области определения, при которых оба предиката ложны, в остальных случаях дизъюнкция предикатов истинна.

Т_{А ˅ В}= Т_АТ_В

Т_А – множество истинности А(х).

Т_В – множество истинности В(х).

3. «не А(х)» - называют отрицанием предиката А(х).

Ā

Отрицание предиката истиннодля тех значений переменной х из области определения, при которых сам предикат ложный.

Т _Ā= Х/Т_А

Т_А – множество истинности А(х).

Т_Ā – множество истинности Ā (х).

Т_АТ _Ā= Х

4. «если А(х), то В(х)» - импликация.

А В

А(х) – условие импликации

В(х) – заключение импликации

Импликация ложна при тех значениях переменной х из области определения, при которых условие истинно, а заключение ложно.

Т_{А В}= Т_ВТ_А`

Т_{А В}= Т_В(Х/Т_А)

Т_В – множество истинности В(х)

Т_А – множество истинности А(х)

Т_А` - множество истинности Ā(х)

– 4 –

Тема: Высказывание с кванторами

1. Высказывание с кванторами.

2. Отношения логического следования и равносильности предложений. Необходимое и достаточное условие.

3. Понятие «теорема», ее структура и виды.

Слова: «все», «любой», «каждый», «сущес4твует», «некоторые» - называются кванторами (лат. «сколько»).

Кванторы общности - «все», «любой», «каждый».

Квантор существования - «существует», «некоторые», «найдется», «хотя бы один».

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается всегда путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности достаточно привести контрольный пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи контрольного примера, ложность – путем доказательства.

Отрицаниевысказывания с квантором можно получить двумя способами:

1) перед высказыванием ставятся слова – «наверное что».

2) квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора заменяется его отрицанием.

– 5 –