III. Задачи

Электростатика

1. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях а₁ = 0,5 см и а₂ = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

2. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость υ = 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами равно 2 см, длина каждой пластины – 10 см. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? m = 9,1 · 10^{-31 кг, е = 1,6 ·} 10^-19 Кл.

3. Три точечных заряда расположены вдоль прямой на расстоянии а = 0,2 м друг от друга. Какую работу необходимо совершить, чтобы поместить заряды в вершины равностороннего треугольника? Величина каждого заряда q = 1 нКл, сторона треугольника а = 0,2 м. ε₀= 8,85 · 10^-12 Ф/м.

4. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии от нити, до точки , α - частица изменила свою скорость от до . Найти линейную плотность заряда τ на нити. , .

5. Заряды и расположены на расстоянии АВ = 40 см друг от друга. Определить абсолютную величину работы электрических сил при перемещении заряда из точки С в точку D, если AC = 30 см.

6. Медный шар (ρ_CU = 8,6·10³ кг/м³, R = 0,5 см) помещен в масло (ρ_М = 0,8 · 10³ кг/м³). Найти заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность = 3,6 · 10⁶ В/м. (ε₀ = 8,85 · 10^-12 Ф/м).

7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составила σ ^/ = 0,1 нКл/см²?

8. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластинка (ε₁ = 7) толщиной d₁ = 1 мм и парафин (ε₂ = 2) толщиной d₂ = 0,5 мм. Определите: 1) напряженность электрических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между платинами конденсатора u = 500 В.

9. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость , направленную параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составляло угол с первоначальным направлением. Определить разность потенциалов между пластинами, если длина пластин равна 10 см и расстояние между ними равно 2 см.

10. Металлический шар радиусом R = 5 см равномерно окружен слоем фарфора толщиной d = 2 см. Определить поверхностные плотности σ₁^/ и σ₂^/ связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд шара q равен 10 нКл. Ε = 5, ε₀ = 8,85 · 10^-12 Дж.

11. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см³) радиусом 0,5 см помещен в глицерин (ρ = 1,26 г/см³). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическом поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е = 4 кВ/см.

12. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см², зазор между пластинами заполнен слюдой (ε = 6). Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

13. Два электрона движутся под действием сил электростатического отталкивания. Какую скорость будут иметь электроны, когда расстояние между ними станет бесконечно большим? В начальный момент времени электроны находились на расстоянии 1 см друг от друга и имели скорость, равную нулю. .

14. Кольцо радиусом r = 10 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 5 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца, 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние а = 10 см от центра кольца.

15. Конденсатор электроемкостью был заряжен до разности потенциалов . После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов , напряжение на нем изменилось до 400 В. Определить емкость второго конденсатора.

16. В однородное электростатическое поле напряженностью E₀ = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластину (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью 200 см². Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.

17. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния r₁ = 10 см до r₂ = 5 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж.

18. В центре квадрата расположен положительный заряд 0,25 мкКл. Какой заряд надо поместить в каждой вершине квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии? Что можно сказать о знаке зарядов?

19. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см, разность потенциалов на обкладках 3 кВ. Пластины раздвигают на расстояние 5 см, не отключая от источника напряжения. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин.

20. Обкладки плоского конденсатора помещены в керосин . Какую работу надо совершить, чтобы раздвинуть обкладки конденсатора на расстояние от 2 до 11 см, если они заряжены до напряжения 600 В и отключены от источника? Площадь каждой обкладки 628 см².

21. Между плоскими горизонтальными пластинами, заряженными равномерно, помещена пылинка массой 10^{-15 кг с зарядом} 4,8·10^-19 Кл. Какова плотность зарядов пластин, если пылинка находится в равновесии?

22. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 1 мм, разность потенциалов на обкладках 100 В. Пластины раздвигаются до расстояния 25 мм. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: а) не отключается; б) отключается.

Постоянный электрический ток

1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от = 0 до некоторого максимального значения в течение времени t = 10 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если его сопротивление R равно 3 Ом.

2. В медном проводнике длиной 2 м и площадью поперечного сечения, равной 0,4 мм², идет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты, равное 0,35 Дж. Сколько электронов проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника. (ρ = 1,7· 10^-8 Ом · м, е = 1,6 · 10^-19 Кл).

3. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно возрастает от I₀ = 0 до I_max = 5 А за время t = 15 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.

4. Батареи имеют ЭДС ε₁ = 110 В и ε₂ = 220 В, сопротивления R₁ = R₂ = 100 Ом и R₃ = 500 Ом. Найти показания амперметра.

5. Определить количество тепла, выделившегося на участке сопротивлением R = 12 Ом, если ток в течение t = 5 с равномерно нарастает от 2 А до 10 А.

6. Три источника тока с ЭДС , и и три реостата с сопротивлениями , и соединены, как показано на рисунке. Определить силы токов в реостатах. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

7. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 100 Ом равномерно нарастает от I₀ = 0 до I_max = 10 А в течении времени τ = 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

8. Два источника тока (ε₁ = 8 В, r₁ = 2 Ом, ε₂ = 6 В, r₂ = 1,5 Ом) и реостат (R = 10 Ом) соединены, как показано на рисунке. Вычислить силу тока I, текущего через реостат.

9. В цепи на рисунке амперметр показывает силу тока I = 1,5 А. Сила тока через сопротивление R₁ равна I₁ = 0,5 А. Сопротивление R₂ = 2 Ом, R₃ = 6 Ом. Определить сопротивление R₁, а также силу токов I₂ и I₃.

10. Определить силу тока I₃ в резисторе сопротивлением R₃ и напряжение u₃ на концах резистора, если ε₁ = 4 В, ε₂ = 3 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 1 Ом. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

11. Два элемента с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями и замкнуты на внешнее сопротивление (рис.). Через элемент с ЭДС течет ток . Найти сопротивление и ток , текущий через элемент с ЭДС , а также ток , текущий через сопротивление .

12. На концах никелевого проводника (ρ = 4 · 10^-7 Ом · м, γ = 10^-4 К^-1) длиной 5 м поддерживается разность потенциалов 12 В. Температура проводника t = 540°С. Определить плотность тока.

13. Какую силу тока показывает амперметр А₂, если амперметр А₁ показывает 6 А, а сопротивления R₁ = 50 Ом и R₂ = 150 Ом? Сопротивлением амперметра пренебречь.

14. Вольтметр показывает u = 200 В, сопротивление вольтметра R_v = 800 Ом. R₁ = R₂ = R₃ = 100 Ом. Определить ЭДС. Сопротивлением батареи пренебречь

15. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 100 Ом равномерно нарастает от I₀ = 0 до I_max = 10 А в течении времени τ = 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

16. Две батареи аккумуляторов ( , , , ) и реостат ( ) соединены, как показано на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.

17.Зашунтованный амперметр измеряет токи силой до 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот амперметр без шунта, если сопротивление амперметра равно 0,02 Ом и сопротивление шунта равно 0,005 Ом?

18. ЭДС элементов ε₁ = 2 В и ε₂ = 4 В, сопротивление R₁ = 0,5 Ом. Падение потенциала на сопротивлении R₂ равно u₂ = 1 В (ток через R₂ направлен справа налево). Найти показания амперметра.

19. Определить напряженность электрического поля в алюминиевом проводнике объемом V = 10 см³, если при прохождении по нему постоянного тока за время t = 5 мин выделялось количество теплоты Q = 2,3 кДж. Удельное сопротивление алюминия ρ = 2,6·10^–8 Ом·м.

20. Батарея с ЭДС и внутренним сопротивлением имеет КПД . Падения потенциала на сопротивлениях и равны и . Какой ток показывает амперметр? Найти падение потенциала на сопротивлении .

21. Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.

22. В медном (ρ = 1,7· 10^-8 Ом · м) проводнике сечением 6 мм² и длиной 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется 18 Дж теплоты. Определить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

23. Два одинаковых источника тока соединены в одном случае последовательно, в другом – параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении источника сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинаковой?

24. Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.

Электромагнетизм

1. Электрон, имеющий скорость υ = 8 · 10⁶ м/с , влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 3,14 · 10^-2 Тл под углом α = 30° к ее направлению. Определить радиус R и шаг винтовой линии h, по которой движется электрон. m = 9,1 · 10^{-31 кг, е = 1,6 ·} 10^-19 Кл.

2.Найти отношение энергии магнитного поля идеального колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени .

3. К источнику тока с внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключают катушку индуктивностью L = 0,5 Гн и сопротивлением R = 8 Ом. Найти время t, в течении которого ток в катушке, нарастая достигает значения, отличающегося от максимального на 1%.

4. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводу течет ток I = 100 А. Вычислите магнитную индукцию В в точке, лежащей на биссектрисе угла и удаленной от вершины угла на расстоянии а = 10 см. μ₀ = 4π · 10^-7 Гн/м.

5. Найти максимальный магнитный поток через прямоугольный рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле с частотой 10 об/с, если амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС равна 3 В.

6. На соленоид длиной l = 20 см и площадью поперечного сечения S = 30 см² надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 320 витков и по нему идет ток I = 3 А. Какая средняя ЭДС ε_ср индуцируется в надетом на соленоиде витке, когда ток в соленоиде выключается в течении времени t = 1 мс?

7. Проволочный виток, имеющий площадь 100 см², разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ. Виток помещен перпендикулярно в однородное магнитное поле, индукция которого равномерно меняется со скоростью 5 мТл/с. Определить заряд конденсатора.

8. Однослойный соленоид без сердечника длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде.

9. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью каждая и катушки индуктивностью , резонирует на волну длиной . Определить расстояние между пластинами конденсатора.

10. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 5 см, по которому течет ток I = 10 А, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.

11. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиус большего витка 12 см, а меньшего 2 см. Напряженность поля в центре витков равна 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и равна нулю, если в противоположном. Определить силу тока в витках I₁ и I₂.

12. В однородном магнитном поле индукции равномерно с частотой вращается рамка, содержащая площадью . Ось вращения лежит в плоскости рамки перпендикулярно линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции, возникающую в рамке.

13. Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного сечения 20 см² равна 0,4 мГн. Определить силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м³.

14. В однородном магнитном поле с индукцией в плоскости перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной . Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов на концах стержня при частоте вращения .

15. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией движется по окружности. Найти силу эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона. .

16. Конденсатор электроемкостью С = 500 пФ соединен параллельно с катушкой длиной l = 40 см и площадью S сечения, равной 5 см². Катушка содержит N = 1000 витков. Сердечник немагнитный. Найти период Т колебаний.

17.В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества Q = 10 мкКл. Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивление R цепи гальванометра равно 30 Ом.

18. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником S = 5,0 см², содержащему N = 1200 витков, течет ток силой I = 2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида B = 10 мТ. Определить его индуктивность.

19. Кольцо из алюминиевого провода (ρ = 26 нОм·м) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А.

20. Определить сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн.

21. Электрон движется в магнитном поле с индукцией 2 мТл по винтовой линии радиусом 2 см и шагом 5 см. С какой скоростью влетел электрон в магнитное поле? е = 1,6·10^-19 Кл, m = 9,1·10^{-31 кг.}

22. В колебательном контуре с индуктивностью и емкостью максимальное значение силы тока равно 0,1 мА. Каким будет напряжение на конденсаторе в момент, когда энергия электрического и магнитного полей будут равны? Колебания считать незатухающими.

23. Два проводника в виде полуколец лежат в одной плоскости и имеют общей центр. Определить напряженность колец при следующих данных: радиус первого полукольца 10 см, второго – 20 см, токи текут в одном направлении и сила тока соответственно равна 1 и 4 А. Поле от подводящих проводников не учитывать.

24. По кольцу радиусом 15 см течет ток силой 10 А. В одной плоскости с кольцом находится длинный прямой изолированный проводник, сила тока в котором 10 А. Проводник совпадает с касательной к окружности кольцевого тока. Найти напряженность магнитного поля в центре кольца при различных направлениях токов.

25. С какой скоростью движется перпендикулярно однородному магнитному полю напряженностью 500 А/м прямой проводник длиной 30 см и сопротивлением 0,1 Ом? При замыкании проводника по нему пошел бы тока силой 0,01 А. Влияние замыкающего провода не учитывать.

26. В средней части длинного соленоида находится отрезок проводника, сила тока в котором 4 А и длина 2 см. Проводник расположен перпендикулярно оси соленоида. На этот отрезок проводника действует сила 10^-5 Н. Определить силу тока в обмотке соленоида при условии, что на 1 см длины соленоида приходится 10 витков и сердечник отсутствует.

27. В соленоиде сила тока равномерно возрастает от 0 до 100 А в течение 2 с и при этом индуцируется . Какую энергию накопит поле соленоида в конце возрастания силы тока?

28. По прямому проводнику течет ток силой 50 А. В плоскости проводника расположена прямоугольная рамка, длинные стороны которой параллельны проводнику. Площадь поперечного сечения рамки 0,5 см², расстояние от центра до проводника 1 м. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

29. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией 4 Тл перпендикулярно магнитному полю движется прямолинейный проводник длиной 1 м со скоростью 25 м/с. Вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику и вектору скорости. Концы проводника соединены гибким проводом вне поля. Общее сопротивление цепи 5 Ом. Определить мощность, необходимую для движения проводника.

30. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности , конденсатора емкостью и резистора сопротивлением . Определить, через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре уменьшается в е раз.

31. Какой длины надо взять проволоку диаметром 0,1 мм, чтобы изготовить однослойный соленоид с индуктивностью 1 мГн? Площадь поперечного сечения соленоида 7,5 см². Сердечник отсутствует.