Строительство

Агроинженерия

Наземные транспортно-технологические комплексы

Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Теплоэнергетика и теплотехника

Технологические машины и оборудование

Геодезия и дистанционное зондирование

Строительство

Уфа 2012

00УДК 51

ББК 22.1

М 33

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

Составитель: доцент Лукманов Р.Л.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск:

зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.

Введение

При работе с данными методическими указаниями студентам рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал по учебникам [1] – [3]. Большое количество решенных примеров представлено в руководстве к решению задач [7].

Данные методические указания являются продолжением части I методических указаний «Неопределенный интеграл». Здесь рассмотрены вопросы интегрирования иррациональных выражений, т. е. выражений, содержащих дробные степени. Все они интегрируются путем сведения (если это возможно) к интегрированию рациональных дробей, т. е. выражений, в числителях и знаменателях которых содержатся только целые степени переменной . Вопрос об интегрировании последних всегда решается положительно и рассмотрен в части I. В силу того, что рациональные дроби всегда можно проинтегрировать стандартными (хотя иногда очень громоздкими) приемами, они являются тем эталоном, к которому всегда стараются свести исходный интеграл путем замены переменной или подстановкой, если более простые приемы не срабатывают.

Именно так действуют и при интегрировании иррациональных выражений. Вы сами в этом сможете еще раз убедиться при изучении предлагаемой методической разработки.

При работе с методичкой обратите особое внимание на интегралы вида (I) из пункта I. Они очень легко рационализируются, т.е. сводятся к интегралам от рациональных дробей. В свою очередь, более сложные интегралы вида (2) легко сводятся к интегралам вида (I).

Интегралы от биномиальных дифференциалов из пункта 2 либо сразу представляют собой интегралы вида (2) (при целом ), либо могут быть сведены к интегралам вида (I) (если в принципе интегрирование в конечном виде возможно).

И, наконец, несколько слов об интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен под знаком радикала. Есть несколько методов нахождения интегралов такого вида, но все они объединены одной идеей: свести исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. В частности, в изложении в данной методичке методов такая рационализация производится с помощью подстановок, которые носят название подстановок Эйлера (пункт 3).

Мы не стали здесь излагать другой достаточно распространенный метод, позволяющий избавиться от радикала с помощью специальных тригонометрических подстановок (см., например, [2] гл. Х, §13).

I НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА: (1)

Здесь рациональная функция двух аргументов, – натуральное число, - постоянные числа.

В первой части мы научились находить интегралы от рациональных функций. В данном случае подинтегральное выражение не является рациональной функцией аргумента . Однако подстановка

превращает наш интеграл в интеграл от рациональной функции аргумента

Пример 1 .

Отметим, что это частный случай интеграла вида (1) с , . Сделаем подстановку

Отсюда , ,

Наш интеграл примет вид:

Для вычисления интеграла от второго слагаемого выделим в знаменателе полный квадрат:

Итак,

Иногда не всегда можно заметить, что интеграл имеет вид (I).

Поясним это на следующем примере, не доводя его решение до конца:

Пример 2

Доумножая числитель и знаменатель подинтегрального выражения на , получим интеграл

,

который рационализируется подстановкой

Интегралы вида (I) имеют очень важное значение в силу того, что к ним приводятся интегралы других типов, содержащие радикалы, в частности, интегралы от биномиальных дифференциалов.

К интегралу вида(I) сводятся и интегралы более общего вида

(2)

Приведя дроби и к общему знаменателю , можно получить под знаком интеграла рациональную функцию от радикала

Пример 3

Общий знаменатель дробей и равен 6. Поэтому выражение и являются целыми степенями выражения

это означает, что наш интеграл является рациональной функцией от и от радикала т.е. представляет собой интеграл вида (I).

2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Биномиальным называется дифференциал вида

, (3)

где - любые постоянные, а показатели - рациональные числа

(обратим ваше внимание на то, что они могут быть не целыми).

Русским математиком П. Л. Чебышевым доказано, что интегралы от биномиальных дифференциалов выражаются в конечном виде (берутся) только в случаях, когда целым является одно из чисел

или

Обычно студенты стараются запомнить применяемые в этих случаях подстановки. Но эти подстановки, как правило, быстро забываются. Гораздо полезнее понять одну мысль: биномиальные дифференциалы интегрируются в конечном виде только в тех случаях, когда эти интегралы удается привести к интегралам вида (1).

Итак, рассмотрим отдельно случаи, когда число - целое и когда оно нецелое.

В случае, когда - целое, интеграл от биномиального дифференциала представляет собой интеграл вида (2).

Пример 4.

Общий знаменатель дробей 1/3 и ½ равен 6 и потому интеграл рационализируется подстановкой . Получаем интеграл

Рассмотрим теперь случаи, когда - нецелое. В таких ситуациях рекомендуем сначала сделать подстановку , чтобы из выражения получить линейное . Дело в том, что при нецелом интеграл от биномиального дифференциала берется в конечном виде только в случаях, когда его удается преобразовать к виду (1), а первый шаг к этому – получить из нелинейного выражения линейное .

Итак, , , ,

Если - нецелое, то остается надежда получить интеграл вида (1) путем деления и умножения подинтегрального выражения на

.

Если - целое, то получится интеграл вида (1).

Подводя итог, можно сказать, что если

1) - целое, то интеграл рационализируется подстановкой

где – общий знаменатель дробей и

2) - целое, то интеграл рационализируется подстановкой

Как было сказано, П.Л. Чебышев доказал, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет.

Мы всё же настоятельно рекомендуем не стараться запомнить подстановки для различных случаев I) - 3), а запомнить методику сведения интегралов от биномиальных дифференциалов к «простейшим» интегралам с радикалами вида (I).

Пример 5

Сделаем сначала подстановку Тогда

и интеграл примет вид

.

Так как образовалась целая степень переменной , то получился интеграл вида (I), и для его рационализации достаточно сделать подстановку

Действительно,

и интеграл примет вид:

Замечание. Мы могли и сразу воспользоваться подстановкой (4):

,

т.к. - целое.

Кстати, она в конечном итоге совпадает с нашей. Однако, как показывает опыт, алгоритм I) - 3) рационализации интегралов от биномиальных дифференциалов очень быстро забывается.

Пример 6.

Как и в предыдущем примере сначала сделаем подставку

Тогда ,

и интеграл примет вид .

Степень переменной нецелая, поэтому интеграл вида (1) пока не получился. Единственная надежда получить интеграл вида (1)- это разделить (и сразу умножить ) на линейное выражение в скобках

.

Теперь действительно получился интеграл вида (1) (т. к. степень - целая ) и для его рационализации достаточно сделать подстановку

Тогда ,

И интеграл принимает вид

= ,

где .

Резюмируя, можно рекомендовать следующую «технологию» вычисления интегралов от биномиальных дифференциалов :

Если - целое, то это интеграл вида (2) и для рационализации нужно сделать подстановку , где - общий знаменатель дробей и .

Если - нецелое, то сначала делаем подстановку и смотрим, не получилось ли целая степень переменной . Если да, то этот интеграл имеет вид (1). Если нет, то надо попробовать выражение разделить и умножить на . Линейное выражение превратится в дробно - линейное . Если при этом образуется целая степень переменной ,то получится интеграл вида (1).

Как видим, интегралы от биномиальных дифференциалов берутся путем их сведения к интегралам вида (1).

3 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА .

ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА

Здесь - рациональная функция двух аргументов. Если квадратный трёхчлен под знаком радикала есть полный квадрат, то проблем нет никаких, т.к. в этом случае из-под радикала извлекается рациональное (линейное) выражение. Подстановки Эйлера позволяют рационализировать подинтегральное выражение (избавиться от радикала) в тех случаях, когда подкоренное выражение не есть полный квадрат.

Для возможности применения подстановок Эйлера необходима положительность коэффициентов или в подкоренном выражении, или его дискриминанта , в каждом из этих трёх случаев применима подстановка Эйлера.

I Подстановка приложима в случае, когда Тогда полагают

=

Заметим, что можно было взять

=

Для определенности рассмотрим первый вариант. Идея подстановки в том, что после возведения в квадрат обеих её частей остаются слагаемые только первой степени относительно переменной и целой степени относительно :

Как видим, это позволило представить аргумент в виде рациональной функции переменной Отсюда, в свою очередь, конечно, следует, что и дифференциал будет выражаться рациональной функцией от :

Кроме того, нам необходимо, чтобы и радикал выражался рационально через , а это действительно так согласно (5):

Подставляя полученные выражения для и в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции от .

А для рациональных функций вопрос об интегрировании, по крайней мере в принципе, решается.

Пример 7

, произвольное число.

Сделаем подстановку (6)

Возводя обе части в квадрат, получим:

,

.

Подставляя эти выражения в исходный интеграл, получим

Отметим, что при возврате к старой переменной при записи окончательного ответа мы снова воспользовались подстановкой (6), из которой легко выражается переменная через :

Подстановка Эйлера применима, когда В этом случае полагают

(перед можно было взять и знак « - »).

Идея этой подстановки в том, что после возведения обеих частей в квадрат свободные члены уничтожаются и после деления обеих частей равенства на как и в случае первой подстановки Эйлера, останутся только линейные слагаемые относительно переменной :

Отсюда

Подставляя выражения для и в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции переменной .

После интегрирования возвращаемся к старой переменной , воспользовавшись представлением

,

которое следует из (7).

Пример 8 .

Применим подстановку Эйлера (вторую)

Возведем обе части в квадрат

, , ,

,

.

Тогда .

Получили интеграл от рациональной функции, который, как мы знаем, может быть вычислен разложением подынтегральной функции на сумму простейших дробей (см. часть 1).

Доведите до конца решение этого примера самостоятельно.

III подстановка Эйлера применима, когда дискриминант подкоренного выражения положителен. Тогда, как известно, это выражение имеет два различных корня (обозначим их через и ) и может быть представлено в виде:

.

Положим , (8).

или (9).

Идея этой подстановки в том, что после возведения в квадрат обеих частей возможно сокращение на , после чего остаются только линейные слагаемые по :

, ; ,

что позволяет представить , и рациональными функциями от :

; ;

.

Подставляя эти выражения в исходный интеграл, снова получаем интеграл от рациональной дроби.

Пример 9

,

Так как

то можно использовать III подстановку Эйлера:

(10).

Заметим, что - , и поэтому .

Возводя обе части (10) в квадрат, получаем:

, , ,

, ,

,

.

Подставляя выражение для , и в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной дроби:

.

Этот интеграл находится уже стандартными приемами. Доведите до конца решение этого примера самостоятельно.

Как уже было отмечено во введении, есть и другие методы рационализации рассмотренных в этом пункте интегралов. Но главный вывод, к которому мы приходим после изучения то иррациональных выражений состоит в том , что их нахождение может быть сведено к нахождению интегралов от рациональных дробей и потому умение интегрировать рациональные дроби является исключительно важным, о чем, впрочем, мы говорили и в части I методических указаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Письменный Д. Т.

Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.

2. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.

5. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.

6. Шипачев В. С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.

7. Данко П. Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.