Интегрирование рациональных дробей

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат о том, что такое представление всегда возможно.

.

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида

.

В частности при имеем только одно слагаемое: .

Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида

,

а при - одно слагаемое .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Пример 25. .

Пример 26. .

Пример 27.

.

Пример 28. .

Пример 29. .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида

I , III ,

II , IV .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида , которые находятся по рекуррентной формуле:

.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Пример 30. .

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

.

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

В результате получим:

.

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли дискриминант неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Пример 31.

.

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Пример 32.

.

Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 33. .

.

Положим :

Остальные неизвестные найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

.

Первый из этих интегралов табличный, а второй вида III. Доведите до конца решение этого примера самостоятельно.

И, наконец, рассмотрим наиболее сложный случай, когда знаменатель содержит кратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 34. .

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.

Итак, исходный интеграл разбился на два интеграла:

.

Решим каждый из них отдельно.

.

.

.

Итак,

.

Вопросы для самопроверки

1. Как выделить целую часть у неправильной рациональной дроби?

2. Какие виды правильных рациональных дробей Вы знаете?

3. Как разлагаются правильные рациональные дроби на простейшие?

4. Как найти неопределенные коэффициенты А, В, С,… в случае некратных линейных сомножителей знаменателя?

5. С чего начинать нахождение неопределенных коэффициентов в случае кратных линейных сомножителей знаменателя? Как найти остальные коэффициенты?

Примеры для самостоятельного решения

1. , 2. ,

3. , 4. .