Методическое пособие по дисциплине «Математика» по разделу «Первообразная и неопределенный интеграл» составлено в соответствии со стандартом СПО и рабочей программой и предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения. Включает в себя теоретическую часть, практические задания, методику решения типовых задач, тесты для самоконтроля. Данное учебно-методическое пособие можно использовать как для аудиторной, так и для внеаудиторной самостоятельной работы.
ФГАОУ ВПО СФУ
Торгово-экономический институт, 2012
Оглавление
Стр.
1. Первообразная и неопределенный интеграл…………………................ 3
6. Варианты для самостоятельной работы………………………………… 14
7. Образец решения варианта 1…………………………………………….. 17
8. Тесты……………………………………………………………………… 20
9. Библиографический список……………………………………………… 22
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Рассмотрим задачу обратную к задаче о нахождении производной. Дана функция f(x). Найти такую функцию F(x), чтобы
F'(x) = f(x) (1)
Например: f(x) = 6х5. Найти F(x). Ответ: F(x) = х6 + С, где С - const Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство (1).
Возникают два вопроса:
а) вопрос о существовании первообразной для данной функции f(x);
б) вопрос о единственности первообразной.
Теорема 1.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, в], то для неё существует первообразная F(x) на [а, в] (без доказательства)
Теорема 2.Если F(x) - первообразная для функции f(x), то F(x) + С, где С - произвольная постоянная, также первообразная для f(х).
Доказательство:
[ F(x) + С]' = F' (х) + С', т. к. С'=0, то F' (x) =f(x),
что и требовалось доказать.
Итак, если функция f(x) имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Например, для функции f(x) = 6х5 первообразными будут х6, х6 + 3, х6 + 1 и т.д.
Теорема 3. Если для функции f(x) найдена хотя бы одна первообразная F(x), то любая другая первообразная имеет вид F(x) + С.
Доказательство: метод «от противного». Пусть функция f(x) имеет 2 первообразных F(x) и Ф(х). По определению первообразной (1) имеем
F' (x) =f(x) и Ф' (х) =f(x).
Тогда F' (х) - Ф' (х) = 0 или [F (х) - Ф (х)]' = 0. Последнее равенство возможно только в случае F (х)-Ф (х) = С, где С - постоянная.
Отсюда Ф(х) = F (х) + С,
что и требовалось доказать.
Например, для f(x)= 5 х6 любая первообразная имеет вид х6 + С.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от данной функции и обозначается
∫f(x)dx = F(x) + С
Здесь f(х) - подинтегральная функция, f(х)dx - подинтегральное выражение, х- - переменная интегрирования. Например,
Определение 3. Процесс отыскания неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием.
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
Рассмотрим пример
∫xdx = + С - совокупность первообразных для функции f(x) = х.
Графически это семейство парабол:
С = 0
С = 1
С = -2 …
Аналогично, неопределенный интеграл ∫f(x)dx представляет собой семейство кривых у = F(x) + С, каждая из которых может быть
получена путём параллельного переноса другой вдоль оси OY. Эти кривые называются интегральными кривыми. Все кривые данного семейства обладают общим свойством: если провести касательные в точках с одинаковой абсциссой х = х0, то эти касательные будут параллельны. Действительно, их угловые коэффициенты равны
[F(x) + С]' = F'(x) │ = f(x0).
3. Свойства неопределенного интеграла
1°. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции
(3)
Доказательство.
,
что и требовалось доказать.
2°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению
(4)
Доказательство.
,
что и требовалось доказать.
3°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции плюс произвольная постоянная
(5)
Доказательство. Возьмем дифференциалы от левой и правой части равенства (5)
и
Следовательно, сами выражения могут отличаться только на постоянную, и равенство (5) доказано.
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
(6)
Доказательство. Найдем производные от левой и правой части равенства (6).
(∫а f(x)dx)'= a f(x)
(a ∫ f(x)dx)' = a( ∫ f(x)dx)' = a f(x)
Следовательно, сами выражения могут отличаться только константой, и равенство (6) доказано.
5°. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких интегральных функции равен алгебраической сумме их интегралов.
(7)
Доказательство. Найдем производные от обеих частей данного равенства
Таким образом, и являются
первообразными одной и той же функции f1 (х)+f2(х), но тогда они отличаются друг от друга на некоторую постоянную, т. е. любая функция, стоящая в левой части (7) отличается от функции в правой части на константу и равенство (7) доказано.
6°. Инвариантность формул интегрирования
Теорема. Пусть ∫f(x)dx = F(x) + С и и = φ(х) - любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
F(u) =F(φ(x)). В силу теоремы об инвариантности дифференциала 1-го порядка имеем
dF(u) = F'(и) du = f(u)du
Отсюда
∫dF(u) = F'(u)du = ∫f(u)du = F(u) + С,
что и требовалось доказать.
Например:
4. Таблица интегралов
Таблица интегралов получается из таблицы производных. Каждая из формул легко проверяется дифференцированием.
1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5.
12.
6.
7. 13.
Докажем, например, формулу 8
Для этого возьмем производную от правой части и сравним результат с подинтегральной функцией
,
что и требовалось доказать.
Аналогично докажем формулу 11:
Замечание: Если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарной функции, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям.
Например:
- интеграл Пуассона,
- интегралы Френеля
- интегральный логарифм,
- интегральный косинус,
- интегральный синус
Такие интегралы представимы в виде суммы степенного ряда.
Например:
5. Основные методы интегрирования
Искусство интегрирования состоит в умении отыскать такие тождественные преобразования подинтегрального выражения, которые сводили бы интеграл к табличному.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное применение табличных интегралов с использованием основных свойств неопределённых интегралов.
+ С - совокупность первообразных для функции f(x) = х.
С = 0 
…
= F'(x) │ 
(3)
,
(4)
,
(5)
и 
(6)
(7)
и 
являются
,
- интеграл Пуассона,
- интегралы Френеля
- интегральный логарифм,
- интегральный косинус,
- интегральный синус
