Задачи для самостоятельного решения

1.1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q = 4∙10^-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 60⁰. Найти вес шариков, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см.

1.2. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы натяжение нити стало равным 0,098 Н? Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см. Вес каждого шарика равен 5∙10^{-3 кг.}

1.3. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. Какова эта сила, если в масле для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга?

1.4. Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через каждые 2 см. Заряды равны соответственно 2∙10^-8 Кл и 3∙10^-8 Кл.

1.5. Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда, расположенных на расстоянии 3,0 м друг от друга в вакууме, отталкиваются с силой 0,4 Н. Определить каждый заряд.

1.6. Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине, если расстояние между ними 2 см.

1.7. Маленький шарик массой 2 г, подвешенный на тонкой шелковой нити, несет на себе заряд 3·10^-7 Кл. На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 5·10^-7 Кл, чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза?

1.8. Два разноименных заряда 2·10^-4 Кл и -8·10^-4 Кл расположены на расстоянии 1 м друг от друга. Какой величины и где надо поместить заряд q, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

1.9. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q и 4q, находятся на расстоянии х друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их нужно раздвинуть, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

1.10. Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5 м так, что они соприкасаются друг с другом. Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл. Определить расстояние между центрами шариков, на которое они разойдутся после зарядки.

1.11. Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях длиной 0,2 м, закрепленных в одной точке подвеса. Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд. После соприкосновения с другим шариком они разошлись так, что нити образовали угол 60⁰. Определить величину заряда, сообщенного первому шарику.

1.12. Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м. Заряды шариков 4·10^-6 Кл. Нити, на которых подвешены шарики, составляют угол 90⁰. Определить массу шариков.

1.13. Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см подвешены на двух нитях длиной 1 м. Заряды шариков 4·10^-6 Кл. Нити, на которых подвешены шарики, составляют угол 90⁰. Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность 0,8∙10³ кг/м³ при условии, что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет 60⁰.

1.14. Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами 2 мкКл и – 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга. На сколько изменится сила их взаимодействия, если шарики привести в соприкосновение и вновь развести на прежнее расстояние?

1.15. Два маленьких одинаковых по размеру шарика, находясь на расстоянии 0,2 м, притягиваются с силой 4·10^-3 Н. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой 2,25·10^-3 Н. Определить первоначальные заряды шариков.

1.16. Два одинаковых шарика массой 0,09 г каждый заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку (рис.1). Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков 0,3 м.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

1.17. Шарик массой 4 г, несущий заряд q₁ = 278 нКл, подвешен на нити. При приближении к нему заряда q₂ противоположного знака (рис.2) нить отклонилась на угол 45⁰ от вертикального направления. Найти модуль заряда q₂, если расстояние r = 6 см.

1.18. Два одноименных заряда 0,7 нКл и 1,3 нКл находятся на расстоянии 6см друг от друга. На каком расстоянии между ними нужно поместить третий заряд, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

1.19. Два точечных заряда величиной 1,1 нКл находятся на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них?

1.20. В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл. Какой отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

1.21. Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и электроном) в атоме водорода 9,2·10^-8 Н. Диаметр атома принять равным 10^{-8 см. На основании этих данных определить заряд ядра.}

1.22. Два точечных электрических заряда, из которых один в 4 раза меньше другого, находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого. Где между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд, чтобы он оставался в равновесии? Будет ли оно устойчивым?

1.23. В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 10¹⁶ с^-1. Определить радиус орбиты.

1.24. Одноименные заряды q₁ = 0,2 мКл, q₂ = 0,5 мКл и q₃ = 0,4 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см, б = 5 см, с = 7 см (рис.3). Определить величину и направление силы, действующей на заряд q₃?

1.25. В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

1.26. Проводящий шарик с зарядом 1,8·10^-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками, один из которых имел заряд

- 0,3·10^-8 Кл, а другой был не заряжен. Как распределятся заряды между шариками? С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см друг от друга?

1.27. Докажите, что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка, находящаяся на расстоянии а от заряда, взаимодействуют с силой такой же величины, как и два заряда +q и –q , находящиеся на расстоянии 2а друг от друга.

1.28. По теории Бора, электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом 0,53·10^{-10 м} в атоме водорода. Определите скорость вращения электрона.

1.29.Два неподвижных положительных заряда по 1,6·10^-19 Кл расположены на расстоянии d = 2·10^{-13 м друг от друга. Вдоль перпендикуляра, проходящего через середину отрезка, соединяющего эти заряды, движется электрон. В какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы неподвижных зарядов максимальна?}

1.30. На шелковых нитях, образующих угол 60⁰, подвешен шарик массой 10^{-3 кг. Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом, в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое. Расстояние между шариками 10-2 м. Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях (рис.4).}

Рис.4

1.31. Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части?

1.32. Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика, подвешенного на шелковой нити, если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака?

1.33. Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов, если расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с e = 5?

1.34. Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз. Что и как при этом могло измениться?

1.35. В ядре атома свинца 207 частиц. Вокруг ядра вращаются 82 электрона. Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома?

2. Напряженность электрического поля

Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое поле. На электрический заряд, помещенный в точку пространства, где есть электрическое поле, действует сила.

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется напряженностью. Напряженностью электрического поля в данной точке называется отношение силы , действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q, к этому заряду:

. (2.1)

Напряженность электрического поля – векторная величина, направление которой совпадает с направлением силы при q>0. Если известна напряженность электрического поля в данной точке, то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила:

. (2.2)

В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором электрической индукции , связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением:

. (2.3)

Напряженность электрического поля , создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции):

. (2.4)

Таким образом, если электростатическое поле создано конечным числом электрических зарядов, то рассчитывать его напряженность следует, используя закон Кулона и принцип суперпозиции.

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити), поверхностной плотностью (для цилиндрической, сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра, сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса.

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε₀ раз меньше величины электрического заряда, находящегося внутри этой поверхности.

, где N_E – поток вектора напряженности

. (2.5)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей, созданных зарядами, расположенными на телах разной геометрической формы, приведены в таблице 1:

Таблица 1

Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела	Dвне,	Евне,	Dвнутри,	Евнутри,
Точечный заряд			_	_
Сфера
Сферический конденсатор
Бесконечная плоскость			_	_
Плоский конденсатор
Бесконечный цилиндр
Бесконечная нить			_	_
Цилиндрический конденсатор

где ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство вокруг заряда;

σ – поверхностная плотность заряда: , S – площадь поверхности заряженного тела;

τ – линейная плотность заряда: , l – длина заряженного тела.

Примеры решения задач

Дано: Решение:

а = 0,1 м 1. Сделаем пояснительный

q₃=-8∙10^-5 Кл чертеж.

q₂=4∙10^-5 Кл

q₁=2∙10^-5 Кл

=1

Е_А -? _А-?

2. Применим принцип суперпозиции полей.

Напряженность поля зарядов q_1, q₂, q₃ в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности.

. (1)

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда, равна:

. (2)

3. Запишем через компоненты и :

= + . (3)

_. (4)

Проецируем (1) на оси х и у:

= -

. (5)

Подставим (5) в(4). Напряженность результирующего поля в точке А будет равна:

(6)

Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны, их нужно представить через заряды и расстояния. Напряженности полей зарядов q_1, q₂, q₃ в точке А равны:

; ; , так как =1.

Знак заряда учли, когда выполняли чертеж. Подставляя эти выражения в формулу (6), будем иметь:

. (7)

4. Подставляя численное значение в формулы (9) и (10), найдем:

В/м = = 18∙10³ В/м.

5. В каждой точке электростатическое поле характеризуется напряженностью , которая является его силовой характеристикой. Напряженность равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей.

Ответ: В/м.

Задача 2. На рисунке АА – заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда и В – одноименно заряженный шарик с массой г и зарядом . Какой угол с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик?

Заряженный шарик находится в г электрическом поле плоскости

АА. Напряженность поля

три силы: электростатическая

и сила тяжести .

Условие равновесия шарика + + =0 или в проекциях на ось Х: F- T sin =0 (1), на ось У: T cos -mg=0 (2). Электростатическая сила (3). Из (2) найдем . Подставляя это выражение в (1), получим (4). Приравнивая правые части (3) и (4), найдем , откуда ; .

Ответ: .

Задача 3.Заряд 15·10^-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 0,15 м от его центра.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж.

h = 0,15 м

- ?

2. и - симметрично расположенные заряды, которые можно считать точечными. В этих условиях

.

3. В проекциях на оси имеем

,

.

4. .

5.

Ответ:

Задача 4.Три плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии друг от друга, равномерно заряжены с поверхностной плотностью +3 · 10^-8 Кл/м², -5 · 10^-8 Кл/м², +8 · 10^-8 Кл/м². Найти напряженность поля в точках, лежащих между пластинами, и с внешней стороны. Построить график зависимости напряженности поля от расстояния, выбрав за начало отсчета положение первой пластины.

Дано: Решение:

Согласно принципу суперпозиции поле в любой точке будет создаваться всеми тремя заряженными

пластинами.

-? .

1. Сделаем пояснительный рисунок:

Для точки А: .

Для точки B: .

Для точки C: .

Для точки D: .

2. Для вычисления надо знать зависимость напряженности электростатического поля от плотности заряда на плоскости. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности, деленным на произведение .

. (1)

В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей, параллельной линиям напряженности поля (рис.5).

Рис.5

Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее линии напряженности не пронизывают) и через основания.

, , .

Из формулы (1) имеем

, где ,

.

Так как плоскости находятся в вакууме, то и .

3. Рассчитаем напряженность электрического поля в точках A,B,C,D.

;

;

;

.

Рис. 6

Поле заряженной плоскости является однородным. Напряженность поля в каждой точке не зависит от расстояния. На каждой заряженной поверхности вектор напряженности испытывает разрыв, величина скачка которого определяется отношением (рис.6).

Ответ: , , , .