Работа и мощность в механике

1.Груз массой 50 кг поднят при помощи каната вертикально вверх за 2 с на высоту 10 м. Вычислить работу, совершенную силой натяжения каната, если движение: а) равномерное; б) равноускоренное.

Решение:Основное уравнение динамики

Или в проекции на ось y (см. рисунок)

2.Автомобиль массой 2 т трогается с места и движется в гору, уклон которой 0,02. Пройдя расстояние 100 м, он развивает скорость 9 м/с Коэффициент трения 0,05. Определить среднюю мощность, развиваемую мотором автомобиля и его мощность в конце последней секунды.

Решение:Средняя мощность мотора автомобиля

Основное уравнение динамики:

В проекциях на ось x и y (см. рисунок)

3.Моторы электропоезда при движении со скоростью 54 км/ч потребляют мощность 900 кВт, КПД Моторов 80%. Опре­делить силу тяги моторов.

Решение:КПД мотора

4.Автомобиль массой 2 т равномерно скатывается с горки, образующей угол 6° с горизонтом, со скоростью 72 км/ч с вы­ключенным двигателем. Какой должна быть мощность двигателя при подъеме на эту горку с той же скоростью?

Решение:Силы, действующие на автомобиль в обоих случаях, указаны на рисунке.

5.Однородный куб массой т = 100 кг и с длиной ребра а = 40 см, находящийся на горизонтальной плоскости, пе­реворачивают с одной грани на соседнюю. Определить ми­нимальную работу, которую надо для этого совершить.

Решение. Будем переворачивать куб так, чтобы он не отрывался от горизонтальной плоскости и не скользил по ней. Центр тяжести куба перемещается при этом с высоты h₁ до высоты h₂ (см. рисунок). Совершаемая работа – это работа против силы тяжести куба. Из рисунка видно, что h₁ = , h₂ = .

6.Санки, движущиеся по горизонтальному льду со скоростью u = 6 м/с, выезжают на асфальт. Длина полозьев санок L = 2 м, коэффициент трения об асфальт k = 1. Какой путь s пройдут санки до полной остановки?

Решение: Эту и ряд следующих задач проще всего решать графи­чески. Пред­ставим силу трения F_тр в зависимости от пути h, пройденного сан­ками по асфальту, в виде графика ( см. рисунок). Тогда площадь под графиком равна работе силы трения, т.е. A = mgkL + mgkx.

Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия саней будет численно равна работе силы трения:

7.Какую работу необходимо затратить, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки (см. рисунок)? Длина пробки а. Пробка находится от края горлышка тоже на расстоянии а. Сила трения между пробкой и бутылкой F. Весом пробки пренебречь.

Решение:Из рисунка видно, что искомая работа будет равна

8.В водоеме укреплена вертикальная труба с порш­нем таким образом, что нижний ее конец погружен в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м (см. рисунок). Какую работу пришлось на это затратить, если площадь поршня S = 1 дм², атмосферное давление нормальное? Весом поршня пренебречь.

Решение.Так как атмосферное давление p₀ = 1· 10⁵ Па, то пор­шень поднимет воду до высоты h₁ = 10 м (почему?). При этом сила, действующая на поршень, меняется пропорционально высоте h воды в трубе.Максимальноезначение силы равно весу поднятой воды, т.е. F_max = P = rSh₁g = 1000 H.

На высоте 10 м вода оторвется от поршня, и поршень пройдет последние h₂ = 5м, совершая работу против сил атмосферного давления. Cила атмосферного давления F₀ = p₀·S = F_max = 1000 H = const.

Отложим по оси абсцисс высоту h, на которую поднимается поршень, а по оси ординат — действующую на него силу F (cм. рисунок). Очевидно, работа А по поднятию поршня равна площади, ограниченной графиком. Следовательно, работа по поднятию поршня на заданную высоту можно определить следующим образом:

A = F_max h₁ + F₀ h₂ = 10000 Дж

9.Какую работу нужно совершить, чтобы длинную доску, лежащую на земле, повернуть в горизонтальной плоскости вокруг одного из концов на угол a? Длина доски L, масса М, коэффициент трения между доской и землей k.

Решение: Так как доска однородна, то сила трения, действующая на кусочек длиной Dx, есть

Пути, проходимые, различ­ными точками доски при повороте, s = ax, где х — расстояние данной , точки от неподвижного конца. На рисунке приведен график зави­симости пути s (x). Работа против сил трения для кусочка доски длиной Dx, удаленного от неподвижного конца на расстояние х, очевидно, равна

т.е. с точностью до постоянного множителя kMg / L равна площади, заштрихованной на рисунке.

Вся работа по повороту доски равна площади под графиком, умноженном на kMg / L:

10.В цилиндрическом стакане с водой плавает бру­сок высоты L и сечения S₁ (см. рисунок). При помощи тонкой спицы брусок медленно опускают на дно стакана.
Какая работа при этом была совершена? Сечение стакана S₂ = 2S₁ , начальная высота воды в стакане тоже L, плотность материала бруска r = 0,5r_в. где р_{в -} плотность воды.

Решение. Так как S₂ = 2S₁ то при погружении бруска на глубину L/4 уровень воды в стакане поднимется на высоту L/4. Таким образом, для того чтобы брусок оказался полностью под водой, его доста­точно погрузить на L/4, а для того, чтобы он достиг дна, его нужно опустить на L/2. График зависимости разности между выталкиваю­щей силой и силой тяжести от глубины погружения h дан на рисунке. Из этого графика нахо­дим работу: