Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой ,осью и двумя вертикалями вокруг осей и ,выражается соответственно формулами:

Если фигура, ограниченная кривыми

и

и прямыми вращается вокруг оси ,то объём тела вращается

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусам вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле

6.3.1. Эллипс, большая ось которого 2а, малая 2b(а>b) вращается:

1)вокруг большой оси;

2)вокруг малой оси.

Найти объём получающихся эллипсоидов вращения. В частном случае определить объём шара.

Решение. Напишем уравнение эллипса.

Из уравнения эллипса

По условию большая полуось равна ,следовательно, промежуток интегрирования будет от до

Откуда

Найдём объём тела, образованного при вращении эллипса вокруг оси .

Из уравнения эллипса

По условию малая полуось эллипса равна , следовательно промежуток интегрирования будет от до ;

Откуда

Частный случай эллипсоида вращения, когда ,есть шар

Таким образом, объём шара

где -радиус шара.

6.3.2.Вычислить объём тела ,полученного вращением вокруг оси Ох фигурой ограниченной параболой и

Решение.

Решив систему

получим откуда точки пересечения кривых и

Как видно, искомый объём тела вращения равен разности двух объёмов.

6.3.3.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды

Решение. Находим и

И переходим к новым пределам интегрирования (по ).Первой арки циклоиды соответствуем изменение параметра от до (см. задачу № ),поэтому для искомого объема получаем

6.3.4.Определить объём ,образованный вращением кривой вокруг полярной оси

Решение.