Задача 7.

7.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной дугой кубической параболы y=x³-4x и осью абсцисс.

7.2. Определить объём тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ фигуры, которая ограничена дугой окружности х²+y²=16, лежащей в I четверти, и прямыми х=1 и х=3.

7.3. Найти объём тела, образованного вращением эллипса 4x²+9y²=36 вокруг малой оси.

7.4. Фигура, ограниченная дугой эллипса и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс и проходящими через фокусы эллипса, вращается вокруг оси ОХ. Определить объём тела вращения.

7.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной ветвью гиперболы x²-y²=1 и прямой х=3.

7.6. Найти объем тела, образованного вращением астероиды x=acos³t, y=asin³t вокруг оси ОХ.

7.7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х=a(t-sint), y=a(1-cost) и отрезком оси абсцисс.

7.8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами y=2x² и y=x³.

7.9. Фигура, образованная в результате пересечения параболы y²=4x и прямой y=x, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения.

7.10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой y²=2x и прямой 2х+2у-3=0.

7.11. Вычислить объем тела, образованного вращением общей части парабол y=x² и y²=8x: а)вокруг оси Ох; б)вокруг оси Оу.

7.12. Фигура, ограниченная кривыми y=tgx, y=ctgx и прямой x= , вращается вокруг оси OX. Найти объем тела вращения.

7.13. Найти объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX сегмента, отсекаемого прямой х+у-2=0 от круга, граничная окружность которого x²+y²=4

7.14. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной кривыми y=log₂x, y=log₄x и прямой y=1.

7.15. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная дугой окружности x²+y²=18, параболой 3y=x² и осью ординат, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

7.1б. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная кривыми x²-у² = 3, xy=2 и прямой x=3 вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

7.17. Круг радиуса 2 с центром в т. (7,0) вращается вокруг оси ОY. Определить объем полученного тела вращения.

7.18.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой y²=

7.19.Найдите объем тела. образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной эллипсом

7.20.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривой и прямыми y= и y=

7.21. Найдите объем, тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и дугой параболы х=у(4-х).

7.22. Найдите объем тела. подученного от вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=xe^x, y=0, x=1.

7.23. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой x²+y2/3=1

7.24. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями (y-3)²+3x=0, x=-3, вокруг оси абсцисс.

7.25. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями xy=4, x=1, x=4, y=0, вокруг оси Ох.

7.26. Вычислить объем тела, полученного вращением астроиды вокруг оси ординат.

7.27. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды y=sinx.

7.28. Определить объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания. Радиус основания равен R, высота тела равна Н.

7.29. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x=2(t-sint), y=2(1-cost) и отрезком [0;4 ] оси Ох.

7.30. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями y=x², 9y=x² и y=1.