Сравнение множеств

Определение. Говорят, что множество Aсодержитсяво множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит/включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом, Û

Можно сказать иначе: если , то .

Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .

Определение. Говорят, что множество A естьсобственноеподмножество множества B (В строго включает А) и пишут A В, если и В А.

Таким образом, A В Û и

Определение. Если (A В), то множества А и В называются сравнимыми между собой.

Ясно, что

· A для всякого множества A;

· Если и , то ; ( и , то ).

Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А Ë В).

Именно, АËВ Û Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.

Утверждение. для всякого множества А.

Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.

Пример. Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А₁ = {1, 2};

А₂ = {1, {1}}; А₃ = {2, 3}; А₄ = {{2, 3}}; А₅ = {1, {2, 3}, {1, 3}};

А₆ = {1, Æ}; А₇ = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; А₈ = Æ.

Тогда А₁ Ë В (2 Ï В); А₂ Í В; А₃ Ë В (2 Ï В и 3 Ï В); А₄ Í В; А₅ Í В; А₆ Ë В (Æ Ï В); А₇ Ë В ({1, 2, 3} Ï В); А₈ Í В.

Определение. Булеаном множества А (обозначается 2^А) называется семейство всех подмножеств данного множества А.

Значит, 2^А={B|B A}. В частности, и

Примеры булеанов.

Пусть . Тогда .

Пусть . Тогда .

Пусть А = Æ. Тогда 2^А = {Æ}.

Определение. Мощностью конечного множества А (обозначение: ) называют число его элементов.

Пример. |Æ| = 0; |{Æ}| = |{x}| = 1; |{1, {1}, 2, {1, 2}}| = 4; |{{1, 2, 3, 4, 5}, Æ}| = 2.

Утверждение. Если , то .

Доказательство (1 способ). Припишем элементам множества А номера от 1 до п. Тогда можно записать, что А = {a₁, a₂ ,…, a_n}. Закодируем всякое подмножество В множества А последовательностью х₁х₂…х_п длины n, состоящей из нулей и единиц, так что

Следовательно, пустое множество представляется n нулями, а множество A кодируется последовательностью, содержащей только единицы.

Таким образом, для каждого В Í А однозначно строится последовательность; по каждой последовательности однозначно восстанавливается соответствующее подмножество. Поэтому число подмножеств множества А равно числу последовательной длины n, содержащих только нули и единицы.

По принципу умножения число таких последовательностей равно

Доказательство (2 способ). Число подмножеств множества А, содержащих k элементов, равно числу способов отобрать из n элементов множества А k элементов, образующих данное подмножество, т. е. равно . Отсюда

Понятие мощности введено и для бесконечных множеств. Оказывается, что бесконечности могут быть очень разными. Например, мощность множества натуральных чисел - это совсем не то же, что мощность множества вещественных чисел (счетная бесконечность и континуум соответственно).