Основные понятия и определения теории множеств

Введение в теорию множеств

ЛЕКЦИЯ 1.1.

Основные понятия и определения теории множеств

Определение.Под множеством (совокупностью) М понимают набор объектов произвольной природы, которые называются элементамимножества. Если число элементов конечно, множество называется конечным. В противном случае говорят о бесконечном множестве.

Подразумевается, что элементы множества различны и различимы между собой. Само множество элементов рассматривается как единое целое, и в качестве такого может быть элементом любого другого множества. Элементы могут быть любыми объектами - числами, людьми, яблоками, буквами и тому подобное. В математике в качестве элементов множества рассматривают математические объекты - числа и множества чисел, точки и множества точек, абстрактные элементы, образующие алгебраические структуры: группы, поля, кольца, решетки и т.д.

Множества большей частью будем обозначать большими латинскими буквами: А, М, Х. Для числовых множеств приняты такие обозначения

N - множество натуральных чисел;

N⁺ - множество натуральных чисел с нулем;

Z - множество целых чисел;

Q- множество рациональных чисел;

R- множество вещественных чисел;

C - множество комплексных чисел.

Все перечисленные числовые множества бесконечны.

Постулируется, что любое множество состоит из своих элементов и однозначно определяются ими. Таким образом, предполагается, что для каждых конкретных объекта и множества можно определить, является ли данный объект элементом данного множества или нет. Элементы множества будем обозначать малыми латинскими буквами: а, b, … , x, y, z.

Определение. Говорят, что всякий элемент х множества М принадлежит М и пишут: хÎМ. Если же предмет х не является элементом множества М, то говорят, что х не принадлежит М и пишут: хÏМ.

Если множество А состоит из элементов а₁, а₂, … , а_п, будем писать: а₁, а₂, … , а_п Î А или А = {а₁, а₂, … , а_п}. При этом порядок перечисления элементов не имеет значения.

Определение. Множества, содержащие в качестве элементов другие множества, называются семействами (классами).

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Существование пустого множества – это постулат.

Определение. Если все элементы данной системы множеств принадлежат какому-то одному большому множеству, такое множество называется универсальным множеством или универсумом и обозначается U. Из контекста, как правило, ясно, какие элементы образуют универсум. В иных случаях универсум - это некоторое абстрактное множество, из элементов которого состоят все остальные множества, и других «кирпичиков» для образования множеств нет.