Процессы гибели и размножения.

Во многих экономических системах, в которых функционирует СП, возникают ситуации, когда из любого (кроме первого и последнего) состояния S_i возможен переход только в соседние состояния S_i+1 и S_i-1. такие процессы называются процессами гибели и размножения и они описываются графом состояний.

Интенсивности называются интенсивностями размножения, а m_i – интенсивности гибели. Для нахождения вероятности каждого состояния используются формулы:
, (+)
, , …, .
Пример 5.1. В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается и ремонт длиться в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени все автомобили исправны и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени.
Решение. Вводим состояния системы:
S₀ – все автомобили сломаны,
S₁ – 1 автомобиль исправен,
S₂ – 2 автомобиля исправны,
S₃ – 3 автомобиля исправны,
S₄ – 4 автомобиля исправны,
S₅ – 5 автомобилей исправны.
Построим граф состояний и расставим переходные интенсивности.
Например, для перехода из S₁ в S₀ имеем ситуацию: исправен 1 автомобиль и он ломается, это происходит 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 4. Для перехода из S₂ в S₁: исправны 2 автомобиля и каждый из них ломается 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 8. Остальные интенсивности гибели расставляются по аналогии.
Для перехода из S₄ в S₅ имеем ситуацию: неисправен 1 автомобиль и он ремонтируется, это длится 1 месяц или 12 раз в год, т.е. интенсивность равна 12. Для перехода из S₃ в S₄ имеем ситуацию: неисправны 2 автомобиля и каждый из них может быть отремонтирован с интенсивностью 12, т.е. общая интенсивность равна 24. Остальные интенсивности размножения расставляются по аналогии.

Вычисляем по формулам (+) вероятности состояний, равные средней доли времени нахождения системы в этих состояниях.

, = 0,088, , ,
Все автомобили исправны в состоянии S₅, средняя доля времени, когда автомобили исправны – 0,24. Среднее число исправных автомобилей находится как математическое ожидание:

Пример 5.2. Организация принимает заявки от населения на проведение ремонтных работ. Заявки принимаются по телефону, по двум линиям и их обслуживают два диспетчера. Если одна линия занята, заявка автоматически переключается на вторую. Если обе линии заняты – заявка теряется. Среднее число обслуживания одной заявки – 6 минут. В среднем одна заявка приносит прибыль в 30 рублей. Какова прибыль за час? Целесообразно ли организовывать третий канал с третьим диспетчером, если его обслуживание обойдётся в 150 рублей в час?
Решение. Рассмотрим сначала систему с двумя каналами.
Введем возможные состояния:
S₀ – нет заявок (оба телефона свободны),
S₁ – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S₂ – две заявки обслуживаются (оба телефона заняты).
Граф состояний будет иметь вид:

Находим вероятности состояний. По приведенным формулам (+):

В среднем, за час теряется 54% заявок или 0,54 ×30 = 16,2 заявки. Обслуживается 13,8 заявок в час и средняя прибыль 13,8 ×30 = 414 рублей.
Рассмотрим теперь ситуацию с тремя линиями. В этом случае три оператора обслуживают 3 телефонные линии, и поступающий звонок приходит на любую свободную линию. Возможны следующие состояния:
S₀ – нет заявок (три телефона свободны),
S₁ – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S₂ – две заявки обслуживаются (два телефона заняты),
S₃ – три заявки обслуживаются (все телефоны заняты).

По формулам (+) находим вероятности состояний:
,
.
В среднем теряется 35% заявок или 10,4 заявки в час. Обслуживается 19,6 заявок. Средняя прибыль – 588 рублей в час. Прибыль выросла на 174. При затратах 150 рублей в час, третий канал обслуживания вводить целесообразно.