русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Множества мощности континуума


Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 3226; Нарушение авторских прав


 

Итак, мы познакомились с одним типом бесконечных множеств – счетными множествами. А есть ли другие типы бесконечных множеств, т.е. также бесконечных, но не являющихся счетными. Оказывается, есть.

Теорема. Отрезок [0,1] есть бесконечное несчетное множество.

Доказательство этой теоремы будем вести методом от противного. Напомним, в чем его суть: некоторое утверждение А истинно тогда и только тогда, когда противоположное ему утверждение ложно

Поэтому, вместо того, чтобы доказывать, что А=истина, доказывают, что

Доказательство

То, что отрезок [0,1] есть бесконечное множество – очевидно.

  1. Предположим противное, т.е. то, что отрезок [0,1] есть счетное множество. Тогда все его точки можно представить в форме последовательности ,обратите внимание на слова “все его точки”.
  2. Поставим каждой точке в соответствие вещественное число, согласно описанной выше процедуре. Ясно, что все эти числа будут иметь знак + и их цифра перед запятой будет равна 0.

Обратите внимание на индексацию цифр. Чему соответствует верхний индекс и что определяет нижний индекс?

  1. Построим число .

по следующему правилу:

а) его знак +, перед запятой стоит 0

б) первая цифра после запятой – любая, кроме .

в) вторая цифра после запятой – любая, кроме .

…………………………………

г) вообще, n-ая цифра после запятой – любая, кроме .

Обратите внимание, что при построении снова был использован прием диагонализации. Требование связано с запретом на числа вида

  1. Что же хорошего можно сказать о точке, соответствующей числу ?

а) во-первых ясно, что : об этом говорит то, что перед запятой стоит комбинация +0.

б) но, с другой стороны, ; ; … Вообще, для любого n .Поэтому .

Вот тут и кроется противоречие. Ведь в п.1 предполагалось, что в последовательности перебраны все точки интервала[0,1]. И вдруг оказалась еще одна точка из этого же интервала, которой нет в этой последовательности. Получившееся противоречие доказывает нашу теорему. <



Определение.Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума .

Теорема. Отрезки (а,в),(а,в],[а,в) также имеют мощность континуума .

Доказательство

Формула y=a+x(b-a) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между .

Рассмотрим отрезок (a,b). Отрезок [a,b] получается из (a,b) добавлением всего лишь двух точек: а и b. Как мы уже знаем, от добавления к бесконечному множеству конечного числа элементов его мощность не меняется. Поэтому отрезки (a,b) и [a,b] имеют одинаковую мощность, а т.к. [a,b] имеет мощность континуума, то и (а,b) имеет мощность континуума.<

Покажите сами, что вся прямая имеет мощность континуума (установив, например, взаимно-однозначное соответствие отрезков (-1,1) и , ) .

Следствие Множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

Вспомним, что счетное множество – самое “маленькое” из всех бесконечных множеств. Поэтому можно сказать, что вещественных чисел гораздо больше, чем рациональных – ведь вещественных чисел континуум, а рациональных – всего лишь счетное множество.

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Соответствие точка-число. Вещественные числа. | Супремум и инфимум числовых множеств.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.004 сек.