Множества. Вещественные числа. Операции над мнoжествами.

Понятие множества является первоначальным математическим понятием, т.е. таким понятием, которое можно только показать на примерах. Можно говорить, например, о множестве людей, находящихся в данной аудитории, о множестве четных чисел, о множестве точек отрезка и т.п. Множества мы будем в дальнейшем обозначать большими латинскими буквами, например, A, B, C и т.д. Иногда множества будут задаваться просто перечислением их элементов и для этого будет использоваться запись вида , где в{…} будут перечисляться элементы множества A. Например, A={a, b, c} есть множество, состоящее из элементов a, b и c. Обозначение aÎA означает, что элемент a принадлежит множеству A, а обозначение или aÏA означает, что элемент a не принадлежит множеству A . Знаком Æ будет обозначаться так называемое пустое множество, т.е. такое множество, в котором нет ни одного элемента. Операции над множествами.

1. Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входит в множество В (обозначение АÌВ) или множество В включает множество А (обозначение ВÉА) если из того, что некоторый элемент a ÎA следует, что a ÎВ (запись ). Эту операцию можно пояснить следующим рисунком.

Из него видно, что если АÌВ, то множество В шире множества А, т.е. содержит большее число элементов. Если одновременно АÌВ и ВÌА, то означает, что множества А и В совпадают, или равны друг другу (обозначение А=В).

2. Объединениеили сумма множеств.

Множество С называют объединением или суммой множеств А и В (обозначение С=АÈВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, т.е. aÎС означает, что aÎA, или aÎВ или aÎ и А и В одновременно. Это можно записать так: , где знак Ú есть символ логического сложения (читается “или”). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция Ú обладает обычными свойствами:

1) АÈВ= ВÈА;

2) АÈ( ВÈС)=(АÈВ) ÈС.

Для суммы множеств А1, А2,…Аn используют обозначение .

3. Пересечение или произведение множеств.

Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В (обозначается С=АÇВ) если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству В. Это можно записать так: где знак Ù есть символ логического умножения (читается “и”). Эта операция может быть пояснена следующим рисунком.

Операция Ç обладает свойствами:

1) АÇВ= ВÇА;

2) АÇ( ВÇС)=(АÇВ) ÇС.

По отношению друг к другу операции Ç и È обладают следующими свойствами:

1). (АÈВ) ÇС=(АÇС) È(ВÇС)

(сравн. (a+b)c=(aс+bc))

2). (АÇВ)ÈС=(АÈС) Ç(ВÈС)

Для пересечения множеств А₁, А₂,…А_n используют символ .

4. Вычитание или разность множеств.

Множество С называется разностью множеств А и В (обозначается С=А\В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В. (Это можно записать так: ). Данный рисунок поясняет эту операцию.

В дальнейшем нам наиболее часто придется иметь дело с двумя множествами.

N={1, 2, 3, 4, ... } – множество всех целых положительных чисел и

Z={0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4, ... } –множество всех целых чисел.