Основные понятия. Свойства определителей второго и третьего порядка. Минор. Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Разложение определителя по строкам (столбцам).

Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, -- матрица размеров , -- матрица размеров , или другими словами, матрица-столбец, -- матрица размеров , или матрица-строка.

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, или .

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров можно записать в виде

В этой записи означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с номером , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца. Например, в матрице

, .

Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца -- нижний.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или .

Определение Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число . Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число

где -- определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Предложение 1 При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Предложение 2 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Предложение 3 Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Предложение 4 Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Поменяем местами две одинаковые строки. В силу 3 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что , откуда следует, что .

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Предложение 5 Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Доказательство. Пусть -- исходная матрица, -- матрица, полученная из умножением первой строки на число :

Тогда

где -- определитель матрицы, полученной из матрицы или, что то же самое, из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца.

Вынесем множитель за знак суммы и получим

Пусть теперь матрица получается из матрицы умножением -ой строки на число . Поменяем местами первую и -ую строки в матрице и то же самое проделаем в матрице . Получим две новых матрицы и . По предложению 3

(1)

Очевидно, что матрица получается из матрицы умножением первой строки на число . Как только что было доказано, . Таким образом, из второго равенства (1) находим , отсюда с помощью первого равенства (1) получаем .

Предложение 6 Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 5 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.

Предложение 7 Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Доказательство. По предложению 5 определитель исходной матрицы равен числу , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 4 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.

Предложение 8 Пусть в матрице -ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой -ой строки на строку , а матрица -- заменой -ой строки на строку .

Доказательство. Пусть первая строка матрицы имеет вид . Тогда

Для случая утверждение доказано.

Пусть . Обозначим через , , матрицы , , и , в которых поменяли местами первую и -ую строки. По только что доказанному (для ) утверждению . По предложению 3 , , . Следовательно, . Умножив обе части последнего равенства на , получим требуемое утверждение.

Предложение 9 Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Доказательство. Пусть к -ой строке матрицы прибавлена -ая строка, умноженная на число . Новую матрицу обозначим . В матрице элементы -ой строки имеют вид . По предложению 8 , где -- матрица, полученная из матрицы заменой -ой строки на -ую строку, умноженную на число . По предложению 7 , то есть .

Предложение 10 Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Доказательство. По предложению 8 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 7 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.

Определение Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример Пусть . Тогда

Замечание Используя алгебраические дополнения определение определителя можно записать так:

Предложение 11 Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула

Доказательство. Если , положим . Пусть . Тогда -ую строку поменяем местами со строкой с номером . Определитель сменит знак. Затем строку с номером поменяем местами со строкой с номером . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока -ая строка матрицы не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим . Отметим, что в матрице , начиная со второй строки, стоят строки матрицы , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрице определитель сменит знак раз (проверьте для случая ). Таким образом

(2)

Это соотношение верно и при . По определению определителя,

где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и -ого столбца. Первая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , поэтому . Результат вычеркивания в матрице первой строки и -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Поэтому , где -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Следовательно,

В силу равенства (2) получим

По определению алгебраического дополнения получим . Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.

Пример Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех -- нули. Получим

Предложение 12 Все свойства определителя, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

(3)

Доказательство. В силу предложения 1 определитель не меняется при транспонировании матрицы, а ее столбцы становятся строками транспонированной матрицы, для которой доказываемые свойства имеют место.

Предложение 14 Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для :

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка . Покажем, что оно верно для матрицы порядка .

Если -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (3) при ):

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка . По предположению индукции этот определитель равен . Поэтому .

Если -- нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка . Предложение доказано.

Следствие 14.1 Определитель единичной матрицы равен единице, .

Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.