Опр. Линия, к которой неограниченно приближается кривая, называется асимптотой этой кривой.
Специально не оговаривается как ведет себя кривая относительно асимптоты (пересекает асимптоту или нет).
кривая
асимптота кривой
Рис 4.4. Кривая и ее асимптота.
Примером такого рода асимптоты будет экспонента 0,5ех для гиперболической функции y=Shx.
Будем рассматривать только прямолинейные односторонние асимптоты, которые имеют вид y=kx+b , y=b , x=a. Начнем с простейших – вертикальных. Если в некоторой точке х=а функция y=f(x) не определена, то имеет смысл вычислить односторонние пределы этой функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов есть бесконечный предел, то прямая х=а – вертикальная асимптота.
Пусть мы строим график функции y=f(x). И возник вопрос о наличии асимптоты вида y=kx+b. Поступаем так. По определению разность f(x)- (kx+b)= 
- бмв при х 
или при х - . Разделим обе части равенства на х и подсчитаем пределы обеих частей при тех же условиях. Получаем
-k - 
= 
Откуда получаем k= т.к. остальные пределы дают нули. Если же просто подсчитать при тех же условиях пределы 
-kх -b= , то получим b= -kх.
Частный случай. При k=0 получают горизонтальную асимптоту y=b.
