Пусть A, B — две квадратные матрицы над кольцом R. Матрица C получается по формуле:
Если размер умножаемых матриц n не является натуральной степенью двойки, мы дополняем исходные матрицы дополнительными нулевыми строками и столбцами. При этом мы получаем удобные для рекурсивного умножения размеры, но теряем в эффективности за счёт дополнительных ненужных умножений.
Разделим матрицы A, B и C на равные по размеру блочные матрицы
где
тогда
Однако с помощью этой процедуры нам не удалось уменьшить количество умножений. Как и в обычном методе, нам требуется 8 умножений.
Теперь определим новые элементы
которые затем используются для выражения Ci, j. Таким образом, нам нужно всего 7 умножений на каждом этапе рекурсии. Элементы матрицы C выражаются из Pk по формулам
Рекурсивный процесс продолжается n раз, до тех пор пока размер матриц Ci, j не станет достаточно малым, далее используют обычный метод умножения матриц. Это делают из-за того, что алгоритм Штрассена теряет эффективность по сравнению с обычным на малых матрицах в силу большего числа сложений. Оптимальный размер матриц для перехода к обычному умножению зависит от характеристик процессора и языка программирования и на практике лежит в пределах от 32 до 128.
..Операции с блочными матрицами
Алгоритм Винограда-Штрассена
Существует модификация алгоритма Штрассена, для которой требуется 7 умножений и 15 сложений (вместо18 для обычного алгоритма Штрассена).
Матрицы A, B и C делятся на блочные подматрицы как показано выше.
..Принципы построения параллельных вычислительных систем 30
..Пути достижения параллелизма
В общем плане под параллельными вычислениями понимаются процессы обработки данных, в которых одновременно могут выполняться нескольких машинных операций. Достижение параллелизма возможно только при выполнимости следующих требований к архитектурным принципам построения вычислительной системы:
независимость функционирования отдельных устройств ЭВМ - данное требование относится в равной степени ко всем основным компонентам вычислительной системы - к устройствам ввода-вывода, к обрабатывающим процессорам и к устройствам памяти;
избыточность элементов вычислительной системы - организация избыточности может осуществляться в следующих основных формах:
o использование специализированных устройств таких, например, как отдельных процессоров для целочисленной и вещественной арифметики, устройств многоуровневой памяти (регистры, кэш);
o дублирование устройств ЭВМ путем использования, например, нескольких однотипных обрабатывающих процессоров или нескольких устройств оперативной памяти.
Дополнительной формой обеспечения параллелизма может служить конвейерная реализация обрабатывающих устройств, при которой выполнение операций в устройствах представляется в виде исполнения последовательности составляющих операцию подкоманд; как результат, при вычислениях на таких устройствах могут находиться на разных стадиях обработки одновременно несколько различных элементов данных.
Возможные пути достижения параллелизма детально рассматриваются в [22, 29]; в этой же работе рассматривается история развития параллельных вычислений и приводятся примеры конкретных параллельных ЭВМ (см. также [9, 29, 31]).
При рассмотрении проблемы организации параллельных вычислений следует различать следующие возможные режимы выполнения независимых частей программы:
многозадачный режим (режим разделения времени), при котором для выполнения процессов используется единственный процессор; данный режим является псевдопараллельным, когда активным (исполняемым) может быть один единственный процесс, а все остальные процессы находятся в состоянии ожидания своей очереди на использование процессора; использование режима разделения времени может повысить эффективность организации вычислений (например, если один из процессов не может выполняться из-за ожидании вводимых данных, процессор может быть задействован для готового к исполнению процесса - см. [6, 13]), кроме того, в данном режиме проявляются многие эффекты параллельных вычислений (необходимость взаимоисключения и синхронизации процессов и др.) и, как результат, этот режим может быть использован при начальной подготовке параллельных программ;
параллельное выполнение, когда в один и тот же момент времени может выполняться несколько команд обработки данных; данный режим вычислений может быть обеспечен не только при наличии нескольких процессоров, но реализуем и при помощи конвейерных и векторных обрабатывающих устройств;
распределенные вычисления; данный термин обычно используют для указания параллельной обработки данных, при которой используется несколько обрабатывающих устройств, достаточно удаленных друг от друга и в которых передача данных по линиям связи приводит к существенным временным задержкам; как результат, эффективная обработка данных при таком способе организации вычислений возможна только для параллельных алгоритмов с низкой интенсивностью потоков межпроцессорных передач данных; перечисленные условия является характерными, например, при организации вычислений в многомашинных вычислительных комплексах, образуемых объединением нескольких отдельных ЭВМ с помощью каналов связи локальных или глобальных информационных сетей.
В рамках данного пособия основное внимание будет уделяться второму типу организации параллелизма, реализуемому на многопроцессорных вычислительных системах.
