При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число называется корнем -й степени из , если , т. е.:

Или

.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а .

Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из имеет вид:

(3.6)

Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, можно записать в виде , где . Тогда:

,

Т. е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из .

Пример. Вычислить .

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

.

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

.

Отсюда полагая, что , получим:

;

;

.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора и линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторы и линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например , линейно выражается через второй, т. е. , а это противоречит неколлинеарности и . Следовательно, и - линейно независимы.

Пусть и неколлинеарные векторы, ‑ произвольный вектор компланарный векторам и . Отложим векторы и от одной точки , т. е. построим (Рис.4.3).

Рис. 4.3.

Из параллелограмма видно, что:

.

Следовательно, любые три компланарных вектора и линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора и линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора и линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через и , т. е. , а это говорит о том, что три вектора и лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы и в некотором базисе имеют координаты , и соответственно. Тогда векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

.

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

(4.4)

Если один из векторов, например, , является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т. к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

 

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор в виде . Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде . Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что: (4.5) Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора по данному базису. Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

 

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка ‑ начало координат (Рис. 4.4). Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям . Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве. Пусть в пространстве дана точка . Проектируя ее на ось , получим точку . Первой координатой илиАбсциссой точки называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если Направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус ‑ если в противоположную. Аналогично проектируя точку на оси и , определим ее Ординату И Аппликату . Тройка чисел взаимно однозначно соответствует точке . Система координат называется Правой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно с положительного направления оси совершающимися против часовой стрелки, и Левой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке. Вектор , направленный из начала координат в точку называется Радиус-вектором точки , т. е.: (4.6) Если даны координаты точек и , то координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца координат начала : или . Следовательно, по формуле (4.5): или (4.7) При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. . (4.8) Длина вектора , заданного координатами своих концов, т. е. расстояние между точками и вычисляется по формуле: . (4.9) Если и коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны: . (4.10) Пусть точка делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки выражается через радиусы-векторы и его концов по формуле: . Отсюда получаются координатные формулы: . В частности, если точка делит отрезок пополам, то и , т. е. .
Направляющие косинусы

 

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и (орт вектора ) находится по формуле: . Пусть ось образует с осями координат углы . Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов: . Если направление задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т. е.: . Направляющие косинусы связаны между собой соотношением: . Если направление задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:
Скалярное произведение

 

Скалярными произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: . Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1. ; 2. ; 3. ; 4. Если и ‑ ненулевые векторы, то Тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между и - острый, если , то угол - тупой; 5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т. е. . Следовательно, . Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т. е. . Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов : . Если векторы заданы своими координатами и , т. е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов: .
Векторное произведение

 

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями: 1. , где ‑ угол между и ; 2. перпендикулярен каждому из векторов и ; 3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки. Векторное произведение обладает следующими свойствами: 1. ; 2. ; 3. ; 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и коллинеарны. В частности, для любого вектора ; 5. Если и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих векторах, как на сторонах. Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся. Основные орты перемножаются следующим образом: . Если и , то c учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей: . Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то: (4.11) Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы. Рассмотрим частный случай, когда вектора и принадлежат плоскости , т. е. их можно представить как и . Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т. е. размером , состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали: . В таком случае: Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом: Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом: И представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоватьсяПравилом Саррюса, которое формулируется следующим образом: · Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы; · Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали; · Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.
Смешанное произведение

 

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если рассматриваемые векторы , и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и , и его высоты, т. е. объему этого параллелепипеда. Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается ) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и . Знак произведение положителен, если векторы , и , образуют правую тройку векторов, т. е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки. Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов , и : Для того, чтобы векторы , и были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля. Если , и , то: , Или в свернутой форме: . Справедливы следующие Свойства смешанного произведения векторов: 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей ; 2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный .