Со времен Евклида изложение любой теории принято начинать с определения тех объектов, с которыми она имеет дело. Основному понятию теории множеств - понятию множества - нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество - это "совокупность", "собрание", "ансамбль", "семейство", "класс", "коллекция" и т.д. Однако все это явно не математическое определение.
Можно привести еще ряд попыток определения множества. Например, определение, принадлежащее немецкому математику Георгу Кантору: "Множество есть многое, мыслимое как целое". Академик Н.Н. Лузин, не претендуя на определение множества, говорил, что множество можно представлять как совокупность каких-то предметов, находящихся в плотно закрытом прозрачном мешке.
Для того, чтобы определить какое-либо понятие, нужно указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Это невозможно сделать для понятия множества потому, что более общего понятия, чем множество, не существует. Здесь, как и при попытке определения понятия точки в геометрии: все знают, что такое точка, но нет определения точки, так как понятие точки является самым элементарным в геометрии.
Будем придерживаться следующего "определения" множества. Множество есть совокупность объединенных по некоторым общим признакам различных объектов, называемых элементами множества.
Подчеркнем главное, что здесь сказано. С одной стороны, во множество входят различные объекты, а с другой, у этих объектов есть нечто общее, их объединяющее.
Если нельзя дать чёткого определения какому-либо понятию, то необходимо проиллюстрировать это на понятных примерах.
Мы весьма часто говорим в повседневной жизни о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве листьев на березе, о множестве стульев в комнате, о множестве картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве молекул воздуха в атмосфере земли, о множестве натуральных чисел, о множестве всех точек на прямой и т.д. Каждый конкретный лист березы отличается от других листьев березы, но все они листья березы и в целом отличаются от листьев дуба.
Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Если х является элементом множества X или, что то же самое, х принадлежит множеству X, то используют запись хÎX; в противном случае пишут хÏX. Для того, чтобы указать, что данное множество X состоит из элементов х, у,..., z, пишут
X = {x, y, ..., z}.
Иногда перечисление элементов множества X производится одним символом, но с различными индексами:
Х = {x1 ,x2, ..., xi, ..., хn}, или X={xi, }.
Например, множество дней недели состоит из элементов {Понедельник, Вторник, Среда, Четверг, Пятница, Суббота, Воскресенье}.
Множество арифметических действий - {сложение, вычитание, умножение, деление}.
Множество корней уравнения х2-2х-24=0 - {-4,6}.
Фигурные скобки в обозначении множества показывают, что элементы объединены в целое - множество X.
Мы видим, что элементами множества могут быть объекты, не являющиеся объектами в физическом смысле, а, например, понятия, операции, числа и т.п.
Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Множество листьев на дереве конечно, а множество точек на окружности бесконечно.
Возможны различные способы задания множества. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих во множество. Например, множество студентов учебной группы определяется их списком в журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в географическом атласе. Для таких конечных множеств применяется запись Х = {x1 ,x2, ...., хn}, где порядок элементов в фигурных скобках несущественен и определяется соображениями наглядности. Так, в записи множества первых n натуральных чисел Nn = {1, 2, ..., n} удобно располагать их в возрастающем порядке, хотя при этом надо иметь в виду, что, например, N3 = {1,2,3}={2,1,3}={3,1,2} - одно и тоже множество. Такой способ применим только к конечным множествам.
В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания характеристического свойства - такого свойства, что элементы множества им обладают, а все остальное не обладает. Например, ясно, что число 72 принадлежит множеству натуральных чисел, а число 0,75 не принадлежит. В геометрии часто приходится иметь дело с множествами точек, заданными теми или иными характеристическими свойствами. Обычно, следуя традициям, множества точек с данным характеристическим свойством в геометрии называют геометрическими местами точек. Например, говорят так: "Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости".
Такому способу задания множества X отвечает запись следующего вида: X = {х: х обладает свойством Р(х)}. Выражение в фигурных скобках читается так: множество всех элементов х, которые обладают свойством Р(х).
Например, множество четных чисел М может быть задано следующим образом: М = {i: i - целое число, делящееся на 2}.
Возможно также рекурсивное задание множества, при котором осуществляется последовательное описание последующих элементов через предыдущие.
Так, множество натуральных чисел N = {1, 2, ...} может быть описано следующим образом:
N = {i: если целое iÎN, то i+1ÎN, i >1}.
Задание множеств их характеристическим свойством иногда может приводить к осложнениям. Может случиться, что два разных характеристических свойства задают одно и то же множество, то есть всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Например, множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает с множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.
Иногда бывает трудно доказать равносильность двух характеристических свойств. Во многих математических теориях речь идет о совпадении двух множеств, например, множество описанных четырехугольников совпадает с множеством четырехугольников, суммы противоположных сторон которых равны.
Трудности возникают и в более простых случаях и могут быть связаны с неточностью обычного языка. Пусть А есть множество, состоящее из первых n натуральных чисел, где n - число букв первой строки текста "Евгения Онегина". Такое определение может быть понято двояко. С одной стороны, под числом n можно понимать совокупное количество типографских знаков в первой строке. Тогда получается, что в первой строке "Мой дядя самых честных правил" n= 25. С другой стороны, под числом n можно понимать общее число различных букв русского алфавита, встречающихся в первой строке, тогда получается n =18.
Данные примеры показывают, что определять множество нужно очень тщательно, чтобы избежать неясности и двусмысленности.
Не всегда затруднения с определением состава множества зависят только от недостатков языка. Иногда причина лежит гораздо глубже и связана с трудностями логического характера.
Как правило, сами множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех треугольников не является треугольником). Но бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием.
Так как такие множества встречаются сравнительно редко, их называют экстраординарными, а все остальные множества - ординарными.
Образуем множество А, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в таком множестве А нет ничего особенного; не видно почему "множество всех ординарных множеств" хуже, чем "множество всех треугольников". Но попробуем выяснить, каким же является множество А - ординарным или экстраординарным. Если оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов, ведь мы собрали вместе все ординарные множества. Но тогда по определению оно является экстраординарным. Если же множество А экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества А есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не берем.
Получилось логическое противоречие - множество А не может быть ни ординарным, ни экстраординарным.
Такие логические противоречия могут возникнуть и в более простых случаях. Например, солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возникает вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить тогда себя он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его следует отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.
В теории множеств накопилось много таких случаев, когда определение множества внутренне противоречиво. Изучение вопроса, при каких условиях это может иметь место, привело к глубоким исследованиям в области логики. Здесь мы будем рассматривать лишь множества, которые определены точно, и состав которых не вызывает сомнений.
Введение понятия множества в математику оказалось очень полезным. Из-за того, что элементами множеств могут быть объекты самой различной природы - числа, шарики, дома, рыбы. Причем одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, о точках геометрических фигур, и как утверждения о животных или растениях, и как утверждение о молекулах или атомах. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее применимость к самым различным областям знания - математике, механике, экономике, физике, биологии, лингвистике и т.д.
}.