Александр Степанович Попов родился 4 марта 1859 года на Урале в посёлке Турьинские Рудники Верхотурского уезда Пермской губернии. В семье его отца, местного священника Степана Петровича Попова (1827—-1897), кроме Александра было ещё 6 детей. Жили более чем скромно.
После окончания общеобразовательных классов Пермской духовной семинарии (1877 год) Александр успешно сдал вступительные экзамены на физико-математический факультет Петербургского университета.
Окончив университет в 1882 году, А. С. Попов получил приглашение остаться там для подготовки к профессорской деятельности по кафедре физики. В 1882 году защитил диссертацию на тему «О принципах магнито- и динамоэлектрических машин постоянного тока». Но молодого учёного больше привлекали экспериментальные исследования в области электричества, и он поступил преподавателем физики, математики и электротехники в Минный офицерский класс в Кронштадте, где имелся хорошо оборудованный физический кабинет. В1890 году получил приглашение на должность преподавателя физики в Техническое училище Морского ведомства в Кронштадте. Одновременно в 1889—1898 годах в летнее время заведовал главной электростанцией Нижегородской ярмарки. В этот период всё своё свободное время Попов посвящает физическим опытам, главным образом, изучению электромагнитных колебаний.
С 1901 года Попов — профессор физики Электротехнического института императора Александра III. Также Попов был Почётным инженером-электриком (1899) и почётным членом Русского технического общества (1901).
В 1905 году учёный совет института избрал А. С. Попова ректором. Скоропостижно скончался 31 декабря 1905 (13 января 1906). Похоронен на Волковском кладбище в Санкт-Петербурге.