Вычитание векторов

Для того чтобы найти разность двух векторов a⃗ и b⃗ (рис. 11) нужно найти вектор c⃗ =a⃗ +(−b⃗ ) (см. Умножение вектора на скаляр) по правилу треугольника (рис. 12) или по правилу параллелограмма (рис. 13).

Рис. 11

а б в

Рис. 12.

а б

б в

Рис. 13.

Прямоугольная система координат на плоскости
и в пространстве

Для определения положения точки на плоскости возьмем две взаимно перпендикулярные координатные оси ОХ, ОУ с общим началом в точке О и одинаковой масштабной единицей (рис. 26), а для определения положения точки в пространстве возьмем три взаимно перпендикулярные координатные оси ОХ, ОУ и OZ (рис. 27). Вектор , соединяющий начало координат О с точкой М, называется радиус-вектором точки М.

Рис. 26

Рис. 27

О п р е д е л е н и е. Проекции x, y, z радиус-вектора точки М на оси координат называются прямоугольными (декартовыми) координатами точки М, при этом х называется абсциссой точки М, у – ординатой, z – аппликатой точки М.

На плоскости: координаты точки

; (2.6) координаты радиус-вектора

В пространстве: координаты точки

; (2.7) координаты радиус-вектора

Орты ( ), ( ),

Единичный вектор - это вектор, абсолютная величина (модуль) которого равен единице. Для обозначения единичного вектора мы будем использовать нижний индекс е. Так, если задан вектор а, то его единичным вектором будет вектор а_е. Этот единичный вектор направлен туда же, куда направлен и сам вектор а, и его модуль равен единице, то есть а_е = 1.

Очевидно, а = а·а_е (а - модуль вектора а). Это следует из правила, по которому выполняется операция умножения скаляра на вектор.

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Направления этих векторов совпадают с направлениями соответствующих осей, а их начала часто совмещают с началом системы координат.

Напомню, что декартовой системой координат в пространстве традиционно называется тройка взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке, которая называется началом координат. Координатные оси обычно обозначают буквами X , Y , Z и называют соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Сам Декарт пользовался только одной осью, на которой откладывались абсциссы. Заслуга использования системы осей принадлежит его ученикам. Поэтому фраза декартова система координат исторически ошибочна. Лучше говорить прямоугольная система координат илиортогональная система координат. Тем не менее, изменять традиции мы не станем и в дальнейшем будем считать, что декартова и прямоугольная (ортогональная) системы координат - это одно и то же.

Единичный вектор, направленный вдоль оси Х, обозначается i, единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозначается j, а единичный вектор, направленный вдоль оси Z, обозначается k. Векторы i, j, k называются ортами (рис. 12, слева), они имеют единичные модули, то есть
i = 1, j = 1, k = 1.

Рис. 12

Оси и орты прямоугольной системы координат в некоторых случаях имеют другие названия и обозначения. Так, ось абсцисс X может называться касательной осью, а ее орт обозначается τ(греческая строчная буква тау), ось ординат – осью нормали, ее орт обозначается n , ось аппликат – осью бинормали, ее орт обозначается b. Зачем менять названия, если суть остается той же?

Дело в том, что, например, в механике при изучении движения тел прямоугольная система координат используется очень часто. Так вот, если сама система координат неподвижна, а изменение координат движущегося объекта отслеживается в этой неподвижной системе, то обычно оси обозначают X, Y, Z, а их орты соответственно i, j, k.

Но нередко, когда объект движется по какой-то криволинейной траектории (например, по окружности) бывает удобнее рассматривать механические процессы в системе координат, движущейся с этим объектом. Именно для такой движущейся системы координат и используются другие названия осей и их ортов. Просто так принято. В этом случае ось X направляют по касательной к траектории в той ее точке, в которой в данный момент этот объект находится. И тогда эту ось называют уже не осью X, а касательной осью, а ее орт обозначают уже не i, а τ. Ось Y направляют по радиусу кривизны траектории (в случае движения по окружности – к центру окружности). А поскольку радиус перпендикулярен касательной, то ось называют осью нормали (перпендикуляр и нормаль – это одно и то же). Орт этой оси обозначают уже не j, а n. Третья ось (бывшая Z) перпендикулярна двум предыдущим. Это – бинормаль с ортом b (рис. 12, справа). Кстати, в этом случае такую прямоугольную систему координат часто называют «естественной» или натуральной.