Основні дії над матрицями.

Основні визначення.

Визначення. Матрицею розміру m´n, де m – число рядків, n – число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка й стовпця, на перетині яких він перебуває. Елементи матриці позначаються a_ij, де i – номер рядка, а j – номер стовпця.

А =

Основні дії над матрицями.

Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Загалом кажучи, матриця може складатися навіть із одного елемента.

Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m=n), то матриця називається квадратною.

Визначення. Матриця вигляду:

= E,

називається одиничною матрицею.

Визначення. Якщо a_mn = a_nm , то матриця називається симетричною.

Приклад. – симетрична матриця

Визначення.Квадратна матриця виду називається діагональноюматрицею.

Додавання й віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й віднімання матриць:

Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

c_ij = a_ij ± b_ij

C = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

a (А ± В) =aА ± aВ

А (a±b) =aА ± bА

Приклад. Дано матриці А = ; B = , знайти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операція множення матриць.

Визначення: Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

A×B = C;

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць.

1) Множення матриць не комутативне, тобто АВ ¹ ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для яких-небудь матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються комутуючими.

Найхарактернішим прикладом може слугувати одинична матриця, що є комутуючою з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Комутуючими можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступну властивість:

A×O = O; O×A = O,

де О – нульоваматриця.

2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ)С, то визначені ВС і А(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна стосовно додавання, тобто якщо мають сенс виразу А(В+С) і (А+В)С, те відповідно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Якщо добуток АВ визначений, то для будь-якого числа a вірне співвідношення:

a (AB) = (aA)B = A(aB).

5) Якщо визначено добуток АВ , те визначений добуток В^ТА^Т і виконується рівність:

(АВ)^Т= В^ТА^Т, де

індексом Т позначається транспонована матриця.

6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = det Adet B.

Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.

Визначення. Матрицю В називають транспонованоюматрицею А, а перехід від А к В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тім же порядку в стовпці матриці В.

А = ; В = А^Т= ;