Вопрос № 5. Интегральный признак Коши

Теорема 3 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд , члены которого удовлетворяют трём условиям:

а) , т.е. исходный ряд с положительными членами;

б) члены ряда монотонно убывают, т.е. ;

в) общий член ряда стремится к нулю: .

Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определённая при функция f(x), такая что , т.е. . Тогда, если несобственный интеграл сходится, то ряд тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует при . Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , и осью 0х (рис.1). Разобьём отрезок

точками и рассмотрим n криволинейных трапеций.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Из геометрического смысла интеграла площадь криволинейной

трапеции . Заменим эту площадь суммой площадей n

прямоугольников с единичными основаниями:

, ,

причём , а .

Из графика (рис. 1) следует: , т.е. .

Рассмотрим два случая.

1) Пусть сходится, т.е. имеет конечный предел . Так как , то и .

Итак, частичные суммы ряда ограничены N, тогда по теореме 2

(необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами) ряд сходится, значит, существует .

2) Пусть интеграл расходится, т.е. неограниченно возрастает при . Тогда из неравенства следует, что последовательность неограниченно возрастает: , т.е. ряд расходится. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ( ), в таком случае рассматривается интеграл .
Замечание 2. Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции , что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления.

Вопрос № 6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение 1. Числовой ряд ,
где , называется знакочередующимся рядом.

Для установления сходимости таких рядов существует достаточный

признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть числовой ряд удовлетворяет условиям:
1) , т.е. этот ряд знакочередующийся;
2) члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: т.е. ;
3) общий член ряда стремится к 0, т.е. .
Тогда ряд сходится и его сумма .

Доказательство. 1) Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка и запишем её в виде: . В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма и последовательность монотонно возрастает: .

Теперь запишем эту сумму иначе: .
В последнем выражении каждое из выражений в скобках положительно, поэтому , из чего следует, что последовательность является ограниченной, и так как она монотонно возрастает, то она сходится. Другими словами существует , причём .

2) Рассмотрим частичную сумму нечётного порядка , которая положительна. Можно показать, что последовательность монотонно возрастает, так как монотонно возрастает последовательность и . Запишем выражение для в виде: , так как все выражения в скобках положительны, то . По условию 3) теоремы 1 , тогда , откуда .

Итак, при всех n (чётных или нечётных), , следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечание 1. Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера N.
Замечание 2. Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.