Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением вектора на вектор называется число , если векторы и ненулевые и число 0, если хотя бы один из векторов нулевой.

Пример. Пусть сила действует на прямолинейно перемещающуюся точку M. Работа A силы на перемещении точки единичной массы равна произведению модуля силы на величину перемещения S и косинус угла между ними: .

Пример 1. На (материальную) точку действуют три силы , и . Найти а) величину и направление равнодействующей сил и ; б) работу, которую совершит равнодействующая этих сил, перемещая точку единичной массы по прямолинейному отрезку из точки в точку .

Решение. а) обозначим равнодействующую заданных трех сил. Запишем равнодействующую в координатной форме: . По формуле (2.24) . Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами с помощью формул (2.25):

.

б) координаты вектора перемещения (см. формулу (2.29)) .

По формуле (2.36) работа

.

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , если и , если .

Векторы и называютсяортогональными(друг к другу), если их скалярное произведение равно нулю: .

Теорема.Если два вектора заданы в прямоугольном декартовом базисе , своими координатами , то их скалярноепроизведение равно сумме парных произведений одноименных координат,т.е. .

Доказательство. Из определения скалярного произведения непосредственно следует, что , , , , .

Теперь легко вычислить скалярное произведение векторов и :

Теорема.Если два вектора заданы в прямоугольном декартовом базисе , своими координатами и , то их скалярноепроизведение равно сумме парных произведений одноименных координат,т.е. .

Пример. В пространстве четырех товаров необходимо рассмотреть бюджетное множество при векторе цен и доходе Q=20.

Бюджетное множество В представляет собой набор товаров Х, которые может приобрести потребитель при данных ценах Р и за данное количество денег Q (все деньги можно не тратить). Математическая модель бюджетного множества имеет вид:

или

Границей бюджетного множества называют множество наборов товаров Х, которые стоят ровно Q. В этом случае математическая модель примет вид:

или

Пример. Покупатель купил три вида товаров: 3 кг первого вида – по 20ден.ед. за килограмм, 2 пачки второго вида – по 25 ден.ед. за пачку, 5 коробок третьего вида – по 10ден.ед. за коробку.

Таким образом, имеется два трёхмерных вектора: – вектор товаров и – вектор цен. Чтобы определить, сколько рублей затратил покупатель, нужно произвести следующий расчёт:

ден.ед.

Пример. Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из некоторого вида товаров и услуг, получаемых потребителями. В таблице приведен условный пример того, как можно вычислять индекс цен для определенного месяца по отношению к предыдущему месяцу.

вид товара количество цена единицы товара в текущем месяце расходы в текущем месяце цена единицы товара в предыдущем месяце расходы в предыдущем месяце

общие расходы - - -

Расчет индекса цен: .

Таким образом, индекс инфляции составил 6,7%.

Обозначим через:

вектор количества потребляемых товаров;

вектор цен в текущем месяце;

вектор цен в предыдущем месяце.

Индекс цен вычисляется по формуле: , откуда

или

Таким образом, индекс цен можно определить как численный коэффициент р, который делает вектор ортогональным вектору

Индекс инфляции рассчитывается по формуле

Задача 1.Дан вектор своими координатами, вычислить длину этого вектора.

Решение. Из свойства следует , если в формуле положить ,то получим

Задача 2.Даны два ненулевых вектора своими координатами и . Найти косинус угла, образованного данными векторами.

Решение. Из соотношения выразим

Используя формулы и , Выразим , и через координаты векторов и . Подставив эти выражения в соотношение , получаем

Для двух векторов на плоскости и , заданных своими координатами можно вычислить и :

.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее заданным свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством. Обозначается .

Векторы пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и норма (длина) каждого из них равна единице, т. е. при i≠ j и при i =1, 2, …, n.

Теорема.Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. (Без доказательства).