Операции над множествами

ДО 3 БАЛЛОВ ЗА КОНСПЕКТ

ЛЕКЦИЯ 1.2.

Основные операции над множествами

Операции над множествами

Определение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Еще будем писать так: .

В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.

Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если , то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством . Будем писать: .

Что же означает условие ? Из определения операции объединения следует, что если , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть

Пример. Пусть . Тогда

Пусть . Тогда

Определение. Пересечением (или , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.

По-другому: .

Но если , он не принадлежит и пересечению с любым другим множеством. Будем писать: .

В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и.

Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.

Пример. , . Тогда

, . Тогда

Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= .

Определение. Пусть e - семейство множеств E_i, каждое из которых включено во множество А. Семейство e называется покрытиеммножества А, если всякий элемент множества А входит хотя бы в одно множество семейства e. Таким образом,

Пример. . Тогда семейства

e₁

e₂ e₃ - это покрытия множества А.

Определение. Покрытие e называется разбиением множества А, если всякий элемент множества А принадлежит ровно одному множеству семейства e. Таким образом, и Æ, если i ¹ j.

Пример 5. Тогда семейства

e₁ e₂

e₃ образуют разбиения множества А.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Иная запись: .

Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или . Итак, .

Пример. , . Тогда

, . Тогда Æ,

Итак, если , то так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если , так как каждый элемент множества А принадлежит и В.

Определение. Симметрической разностью А В (или АÅВ)множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств

Или так: .

Но тогда .

Пример. Тогда

, . Тогда

Таким образом,

Определение. Дополнением множества А доуниверсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.

Иная запись: .

В устной речи операции дополнения соответствует частица не.

Пример. , . Тогда

Таким образом,

Утверждение.

Доказательство. Докажем, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В Û А Í В и В Í А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов).

а. Пусть

б. Пусть