Оценка погрешности работы цифрового интегратора

Попытаемся оценить погрешность работы цифрового интегратора. Для этого найдем формулу для определения погрешности интегрирования на одном шаге. Суммарная ошибка интегрирования может быть определена путем суммирования по всем шагам.

Пусть — точное значение интеграла (выход идеального интегратора). Тогда ошибка на одном шаге

Применим z–преобразование:

С другой стороны, , где — передаточная функция цифрового интегратора.

В результате получаем формулу:

(1)

Оценим ошибку интегрирования при постоянном и линейно возрастающем входном воздействии.

Таблица 1

Случай 1. Постоянное входное воздействие.

Случай 1.1. Передаточная функция интегратора соответствует формуле .

Нетрудно видеть, что , следовательно в формуле (1) в скобках получаем 0, т.е. ошибка интегрирования равна нулю.

По аналогии можно убедиться, что использование передаточных функций , также дает нулевую ошибку интегрирования при постоянном входном воздействии.

Случай 2. Линейно изменяющееся входное воздействие.

Случай 2.1. Передаточная функция интегратора соответствует формуле .

Получаем, что при использовании первой формулы интегрирования при линейно меняющемся входном воздействии имеем на каждом шаге (кроме первого) постоянную ошибку. Суммарная ошибка по всем шагам:

где — число шагов. Легко убедиться, что формула дает такое же значение ошибки, но с отрицательным знаком.

Случай 2.2. Передаточная функция интегратора соответствует формуле .

Нетрудно видеть, что , следовательно, в формуле (1) в скобках получаем 0, т.е. ошибка интегрирования равна нулю.

Таким образом, при линейно меняющемся сигнале на входе интегратора, использование передаточных функций , дает постоянную ошибку на каждом шаге, при использовании интегратора с передаточной функцией ошибка равна нулю. Следовательно, выбор схемы реализации цифрового интегратора влияет на точность интегрирования.