Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:
Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид
Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:
Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:
Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид
Нетрудно заметить две закономерности операции транспонирования матриц.
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.
Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы — квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. aij = aji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство
также можно полагать определением симметрической матрицы.
