Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.

К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор формула.

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

1.3. Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в 1/k раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора a на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора b на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Примеры.

1. Матрица - прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы:

Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение:

Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

2. Квадратной матрицейназывается матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

			-7		- квадратная матрица размера 3×3
-1

Нулевой матрицейназывается матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0, ∀i, j.

					- нулевая матрица

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

-5

- вектор-строка

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

			- вектор-столбец
-7

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

					- не диагональные элементы равны нулю

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

E =						- диагональные элементы равны 1

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

		-6

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

-2

Диагональная матрица - матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

· если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

· если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

			-3

7. Преобразования координат на плоскости. Ориентация плоскости.

1.1. Рассмотрим систему координат или репер (R), состоящая из точки О и двух базисных векторов Е₁, Е₂ , с помощью которых проводятся оси координат.

R=

Рассмотрим еще один R^̸̸ на той же плоскости R^̸̸ =

Рассмотрим вектор х на той же самой плоскости, возникает вопрос: как будут связаны между собой координаты этого вектора в 1 и во 2 базисе.

Полученные формулы будут называться формулами преобразования координат на плоскости.

Рассмотрим на плоскости точку М относительно старой системы координат, то это будут два числа (х,у)_R М=(х,у)_R

Берем вектор r₁ , где начало О а конец М. Этот вектор расписывается по базису:

R₁=xe₁+ye₂

Но эту точку М также рассматриваем в другом репере М^\=(х^\,у^\)_R^\

Связь между координатами R₁=xe₁+ye₂ и мы должны найти.

Берем другой вектор ОО^\, ОО^\ - вектор переноса системы координат.

(1)

Если мы рассмотрим вектора нового базиса относительно старого базиса, то

(2)

Эти четыре числа (а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂) либо а_ig, где I,g=1,2 координаты базисных векторов из нового базиса.

А т.к. базисные вектора линейно независимые, значит каждый из них ненулевой вектор и они неколлинеарные, т.е. а₁₁ и а₂₁ ≠ 0 или (1 условие)

То что вектора не коллинеарные означает

Эти условия записываются в виде палочек а внутри типо таблица, это похоже на матрицу:

Определитель вычисляется по формуле а₁₁*а₂₂-а₂₁*а₂₂≠0

Распишем вектор (1)

Таким образом мы получим

Эти формулы называются формулами преобразования координат на плоскости

Для прямоугольной декартовой системы координат эти формулы примут вид:

1 случай: Поворот

О=О^\

R и R^\ ортонормированы

u

α – угол поворота системы координат

a_ij- координаты новых базисных векторов относительно старого базиса

В нашем случае это