Определение. Смешанным произведением векторов 
, 
и 
называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается 
или ( , , ).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Свойствасмешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2) 
3) 
4) 
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен
6)Если 
, 
, то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов: 
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов: 
Объем пирамиды 
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = 
(ед2)
Т.к. V = 
; 
(ед)
