ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ СВОИМИ КООРДИНАТАМИ

Рассмотрим принцип сложения векторов на примере плоской системы координат.

1. Найти координаты вектора , если = +

С { (х_В– х_А); (у_В – у_А);( z _В– z_А) }

В

{ (х_С– х_В); (у_С – у_В); ( z _С– z_В) }

Ах_Ах_Вх_С х

Легко заметить, что х_С– х_А=₍х_В– х_А) + ( х_С– х_В) = пр_Ох + пр_Ох

очевидно, у_С – у_А =( у_В – у_А) + (у_С – у_В) = пр_Оу + пр_Оу

Впространстве сложение производится по тем же правилам, что и в планиметрии, лишь дополнительно появляется третья координата.

Пусть = а_х + а_у +а_z и = b_х + b_у .+b_z . Тогда, так как сложение векторов сводятся к выполнению соответствующих линейных операций с проекциями этих векторов, то можно записать:

± =(х₁ ± х₂) + (у₁ ± у₂) т.е. при сложении векторов их координаты складываются

{- 2; 4; 2 } и { 4; 3; 0 } = + { 2; 7; 2 }

Рассмотрим принцип умножения вектора на число на примере плоской системы координат.

2.Найти координаты вектора 3 .

(ОА_х)

х

О ОА_х ОА_х B_х

= + + =3

При умножении вектора, заданного своими координатами, на число его координаты умножаются на это число.

Т.о. в координатной форме, если = x + y + z п = пx + пy + пz

При этом:векторы п и коллинеарные, их направление совпадает, если k > 0, их направление противоположно, если k <0.

Выполнить действия и ответ записать в координатной форме

1. Найти координаты векторов 2 и , если {-2; 0; 3 }

2 {-4; 0; 6 } {-1; 0; 1,5}

2. Даны векторы = 4 - 3 и = - 3 + ,

Найти координаты вектора , если

= 2 -3 = 8 - 6 -3(- 3 + ) = 13 - 7 ; {-13; - 7}

= - 2 =- 1,5 +0,5 - 8 +6 = -9,5 +6,5 {-8,5; 6,5}

3. Координаты векторов { -2;4;2 } и { 4; 3;0 }

Найти координаты вектора : = 3 - 2

{ -6 -8; 12 - 6;6 }; { -14; 6;6 }

Если координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Т.е., если = x₁ + y₁ + z₁ ; = x₂ + y₂ + z₂ и значит,

векторы и коллинеарные

4Даны векторы = 2 - 4 и { 3;-1; -2} . Найти значения т и п, при которых векторы
= -3 и {т + п; -3; т - п } коллинеарные.

Определяем координаты вектора -3

{ 2; 0; - 4 } { 1; 0; - 2 } ; { 3;-1; -2} 3 { 9;-3; -6 }

= -3 { - 8; 3; 4 }

векторы коллинеарные = = 3т - 3п = -12

3т + 3п = -24

6т = -36, т = - 6

- 6п = 12, п = - 2

5. Даны точки А(2; -1; 0); В(-3; 2; 1) и С(1;1;1). Найти координаты точки D, если = -2

{ (x_B – x_A); (y_B – y_A);(z_B – z_A) } {-5; 3; 1} ; -2 {10; -6; -2}

{10; -6; -2} x_D – x_С= 10 x_D =11; y_D – y_С= -6 y_D = -5; z_D – z_С= -2 z_D = -1

D(11; -5; -1)

6. Даны точки А(-3;1; -1); В (2;-4; 1) , выразить через орты вектор и вычислить его длину.

{ (x_B – x_A); (y_B – y_A);(z_B – z_A) } {5; -5;2} 5 -5 + 2 ;

| | = = = =3

7Даны векторы = - 3 + и = -2 + . Найти координаты вектора = -

{ 1;-3; 1} ; { -1; 0; 1}

= - { 3;-3; 0}

8. Даны точки А( 1;2; -1); В (-2; 1; 1) . Вычислить расстояние от начала координат до середины отрезка АВ

С( ; ; ) С(- 0,5; 1,5; 0)

| | = = =

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

На основе введенных операций можно выражать одни векторы через другие. В частности, любой вектор можно представить в виде линейной комбинации ортов для координатных осей. На плоскости такое разложение вектора имеет вид = х + у , а в пространстве - = х + у + z . При этом числа х,у,z оказываются проекциями вектора на координатные оси, т.е. это координаты вектора.

Введенные операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют всем требованиям, которые предусматриваются аксиомами линейного пространства. Однако структуру действий с векторами можно существенно обогатить, определив еще несколько операций, называемых произведением векторов.

Первое из них называется «СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ». Термин «скалярное» означает, что в результате перемножения двух векторов и получается число ( ),

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: · = | |·| |·сos .

Где =( ^{^} ) - угол между двумя ненулевыми векторами,
когда они отложены от одной точки.

Скалярное произведение также обозначается ( ).

Рассмотрим несколько частных случаев:

1. Если вектор умножить скалярно на себя, то = 0 и поэтому сos = 1 , тогда получим ( · ) = | |² , произведение ( · ) называется скалярным квадратом вектора .

2. Если хотя бы один из векторов - нулевой, то по определению · = 0

3. Скалярное произведение коммутативно: т.е. ( ) = ( ).

4. Числовой множитель можно выносить за скобки: ( ) = ( ) = ( ).

5. Если векторы и представлены разложением по ортам: = х₁ + у₁ + z₁ и = х₂ + у₂ +z₂ , тогда после перемножения разложений получим · = х₁х₂ + у₁у₂+ z₁ z₂.

6. Если два вектора и ортогональны, т.е. , и сos = 0, то · =0 т.е.обращение в нуль скалярного произведения - х₁х₂ + у₁у₂+ z₁ z₂. = 0 признак взаимной перпендикулярности двух векторов.

7. В частности для ортов · = 1; · = 0; · = 0; и т.д.

8. Операция скалярного произведения векторов позволяет находить углы между ненулевыми векторами и по формуле: сos = .

1. Докажите, что векторы и взаимно перпендикулярны.

а) =5 - 2 + 7 ; = 3 + 4 -

Два вектора перпендикулярны, если: х₁х₂ + у₁у₂+ z₁z₂= 0, проверяем: 5·3 - 2·4 -7 = 0

б)=3 +4 - ; = 5 - 3 + 3 , х₁х₂ + у₁у₂+ z₁z₂= 15 - 12 - 3 = 0,

2. Определить, при каких значениях т, векторы будут взаимно перпендикулярны:

а) {2; т } и {4; -1 },

Условие перпендикулярности векторов:х₁х₂ + у₁у₂= 0 2·4 -1·т = 0 т = 8

б) {т; 2} и {2; т - 6 },

Условие перпендикулярности векторов:х₁х₂ + у₁у₂= 0 2т +2(т - 6) = 0 т = 3

3. Угол между векторами и равен 45⁰. Вычислить скалярное произведение векторов, если =2 + 2 ; | | = 6

· = | |·| |·сos , сos = сos 45⁰=

| | = 6 | | = = =

· = | |·| |·сos = ·6· =12

4. Найти угол меду вектором т { 1; 0; } и

5. Найти угол между вектором т { 1; 0; } и осью аппликат.

Выберем произвольную точку на оси аппликат А(0;0;1), тогда вектор п { 0;0;1}

сos = = = = =30⁰.

6. Найти углы меду векторами:

а){1; 0} и {1; - 1}

сos = = = = =45⁰

б) = 5 – 3 {5; – 3 }; = 4 + {4; 1 },

сos = = = = = =

в) = 7 +3 {7; 3 }

= 2 + 5 {2; 5 }, сos = = = = =

7. Определить угол А треугольника АВС, если А(1;3); В(4;6); С(3;1).

В(4;6) = 2 – 2

= 3 +3

А(1;3)

С(3;1) сos = = = 0 =

8. Вычислить скалярное произведение векторов.

а) {0; 1 } и {2; 1 }, вычислить произведение векторов 3 +2 и –

– ={ –2; 0 }; 3 +2 ={4; - 1 },

( 3 +2 )( – ) = х₁х₂ + у₁у₂= –2·4 - 1· 0 = – 8

б) А(1;3); В(2;0); С(3;-4), вычислить произведение векторов и

{ 2; – 7 }; { 1; – 3 };

· = х₁х₂ + у₁у₂= 2 + 21 = 23

9. Вычислить работу на участке , которую производит сила , если | | = 8, | | = 4, = 30⁰.

Пример применения скалярного произведения в физике:

Пусть под действием силы тело совершило механическое

перемещение, которое задается вектором . Если мы

разложим силу на горизонтальную и вертикальную,

составляющие, то станет ясно, что работу по перемещению

совершает лишь горизонтальная составляющая, равная

= сos , т.е работа А = сos = · сos = 4 · 8 · = 16

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Вторая разновидность произведения векторов и - такназываемое «векторное произведение» , или х , результатом которого является вектор, определенный следующими условиями:

- длина вектора равна площади параллелограмма, поостренного на векторах и ;

- вектор перпендикулярен (ортогонален) векторам и и направлен в ту сторону, с которой поворот вектора к вектору по кратчайшему пути виден против хода часовой стрелки.

В качестве примера: =

Если векторы заданы в координатной форме, то, пользуясь свойством векторного произведения, нетрудно получить формулу: = (х₁ + у₁ + z₁ )х(х₂ + у₂ +z₂ ) =

= (у₁ z₂-z₁у₂ ) -(х₁ z₂- z₁ х₂) + (х₁ у₂- у₁ х₂)

Несколько опережая события, заметим, что эту формулу легко запомнить, если воспользоваться специальной записью в виде так называемого определителя:

= х₁ у₁ z₁

х₂ у₂ z₂