Действия с неколлинеарными векторами

В графической форме действия с неколлинеарными векторамивыполняются поправилам треугольника ипараллелограмма, а в пространстве по правилупараллелепипеда.

При сложении двух векторов оба слагаемых и результирующий вектор лежат в одной плоскости (почему?).

Если два вектора являются сторонами параллелограмма, то одна из диагоналей этого параллелограмма представляет сумму этих векторов, а вторая – разность.

В С В - В

А D

А D

Или по правилу треугольника:

Пусть материальная точка А переместилась сначала в точку В, а затем в точку С. В результате двух перемещений, которые можно представить векторами и точка А переместилась из точки А в точку С.

С Т.е. = +

А В

Операция сложения векторов определяется следующим образом: чтобы сложить два вектора, необходимо от конца первого вектора отложить второй вектор и начало первого вектора соединить с концом второго.

Для операции сложения векторов справедливы свойства, аналогичные свойствам сложения чисел:

1.Переместительный закон:

А D

Сложение нескольких векторов производится следующим образом:

–от некоторой удобной точки откладывается первый вектор, от конца первого вектора откладывается второй и т.д.

–начало первого вектора соединяется с концом второго, и этот вектор является суммой всех слагаемых векторов.

А АВ = + + + +

В

 

Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором ,
равна вектору , или: разность векторов и это сумма вектора и вектора –

 

–

– +(– )

–

Произведение вектора на скаляр (число) называется вектор · (или · ),
который имеет длину · , коллинеарен вектору , имеет направление вектора ,
если > 0 и противоположное направление, если <0.

 

1. Если дан вектор , то векторы 3 и - 2 будут иметь вид: 3 - 2

2. Для данных векторов и постройте векторы;а) +2 ; б) 2 + ; в) –

 

В А

а); = +2 б) = 2 + ;

А

 

в) – = + (– )

–

 

–

+ (– )

 

 

 

 

3. В треугольнике АВС укажите векторы:а) + ; б) + ;

К С М а) + =

б) + =

в) + =

А В

4. В параллелограмме АВСD О - точка пересечения диагоналей АС и ВD. Найти +

D С С

О О

А В + = В

5.Втреугольнике АВСАD - медиана. Найти -

А

С

D

В

- = + =

6.На стороне СD квадрата АBСD лежит точка Р так, что СР = РD, О –точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и = .

B С

 

О Р = = ; = =

 

А D = = ( + ) = ( + )

= + = +

+ = = – = – – = – ; = – ;

 

7. На стороне BС ромба АBСD лежит точка K так, что ВК = КС, О –точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и = .

B К С

АBСD –ромб = = и = =

= =

О = + = +

А D = = ( + ) = ( + )

8. В параллелограмме АВСD О - точка пересечения диагоналей АС и ВD. АК = КО. Выразить

через и

D С Если два вектора являются сторонами параллелограмма,

то одна из диагоналей этого параллелограмма

О представляет сумму этих векторов = + ,

К а вторая – разность: = -

А В = = ( - )

Некомпланарными являются три вектора, не лежащие в одной плоскости

D Векторы , , - компланарные, так как лежат

в одной плоскости.

Векторы , , ,- не компланарные, так как

точки D, М, N не лежат в одной плоскости.

М

О N

В

Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом параллелепипеда– пространственным аналогом правила параллелограмма.

Пусть векторы ; и некомпланарны. Отложим их от одной точки О. Тогда, сумма + - диагональ параллелограмма: . Но векторы и отложены от

одной точкиО, т.е. их также можно сложить, пользуясь правилом параллелограмма.

 

О

 

 

1.В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ = , = , = , A₁М = МD₁; СN = NC₁; АS =АD

D₁ C₁ Выразить векторы и

М B₁ N

A₁ D₁ C₁

N М D С