Функция, непрерывность, точки разрыва.

Функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке .

1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .

2) Должен существовать общий предел функции .

Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, то она называется точкой разрыва первого рода.

Изобразим на чертеже график функции :

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако хоть точка и выколота, справедливость первого замечательного предела вовсе не нарушена – мы можем приблизиться к «нулю» и слева и справа бесконечно близко, таким образом, односторонние пределы существуют и совпадают.

Точка разрыва второго рода- Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.

И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .посмотрим на график функции , который ещё не встречался:

Исследуем на непрерывность точку по стандартной схеме:

1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого: