Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.
Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.
Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то: а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.
Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость
Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши: Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Оформляем общий член ряда под корень. (2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней . (3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что (4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень). (5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю. (6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.
А вот более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость
И еще пара типовых примеров.
Полное решение и образец оформления в конце урока
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость Используем радикальный признак Коши: Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Помещаем общий член ряда под корень. (2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: . (3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что . (4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. Нечто подобное у нас встречалось при изучении второго замечательного предела. Но здесь ситуация другая. Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми, например: , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает). (5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю. (6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: . Почему в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому-что основание степени удовлетворяет неравенству . Если у кого есть сомнения в справедливости предела , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор: Если , то Если , то Если , то Если , то Если , то … и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе: (7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
Это пример для самостоятельного решения.
Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: . Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников. В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.