Определение корректирующих способностей кода

Кодовое расстояние d (по Хеммингу) между двумя кодовыми комбинациями двоичного кода равно числу символов, в которых эти комбинации отличаются одна от другой. Чтобы получить значение кодового расстояния между двумя комбинациями двоичного кода, достаточно подсчитать число единиц в результате поразрядного сложения этих комбинаций по модулю 2, другими словами, расстояние между двумя двоичными кодовыми векторами равно весу вектора, полученного в результате сложения исходных векторов по модулю два.

Если в коде имеется несколько кодовых слов, необходимо для каждой пары заданного множества кодовых слов вычислить кодовое расстояние, выбрать из полученных кодовых расстояний минимальное значение и определить по нему корректирующие способности исследуемого кода.

В соответствии с заданием (таблица 3) имеем следующий код:

Решение:

d₁₂=0; d₁₃=7;

d₂₃=7.

Вычислим минимальное кодовое расстояние:

d_min=min{0, 7, 7}=0.

Для определения корректирующих способностей существуют формулы (23) – (26).

d_min ≥ R + 1, (23)

где R – кратность обнаруживаемых ошибок;

d_min ≥ 2S + 1, (24)

где S – кратность исправляемых ошибок;

Для обнаружения всех ошибок кратности R и одновременного исправления ошибок кратности S минимальное хэммингово расстояние нужно выбирать из условия

(25)

при этом

R>S. (26)

В соответствии с формулой (23) вычислим кратность обнаруживаемых ошибок, приравняв левую и правую части этого неравенства:

d_min=R+1 0=R+1 R=0.

В соответствии с формулой (24) вычислим кратность исправляемых ошибок, приравняв левую и правую части:

d_min=2S+1 0=2S+1 S=0.

В соответствии с формулой (25) вычислим кратность обнаруживаемых и исправляемых ошибок, приравняв левую и правую части, с учетом ограничения (26):

d_min=R+S+1 0=R+S+1 R=0; S=0.

Вывод:

Т.к. d_min = 0, заданный код не обладает корректирующими способностями. Для обнаружения хотя бы одной ошибки необходимо чтобы d_min=2, для исправления одной d_min=3.