Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка имеют вид

=0 или

Если уравнение (1) удастся разрешить относительно , то мы получим

- уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Будем считать, что функция задана на некотором открытом множестве .

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

такая, что:

1) она удовлетворяет уравнению (2) при значениях постоянной , принадлежащих некоторому определенному множеству; (это множество определяется уравнением (2)).

2) какова бы ни была точка , найдется такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять условию .

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Имеет место следующая теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (2).

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на открытом множестве , . Тогда через точку проходит по крайне мере одна интегральная кривая. Если функция имеет на непрерывную частную производную по переменной , то существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию .

Условие называют начальным условием. Задачу отыскания решения уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию , называют задачей Коши.

Единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если и есть два решения задачи Коши, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , заданные соответственно на интервалах и , то на пересечении этих интервалов.

Не существует общего метода решения дифференциального уравнения первого порядка. Далее мы выделим некоторые типы дифференциальных уравнений, для которых можно дать метод решения.