Баланс амплитуд и фаз

Разомкнем в точках 1-1 рис. №1 цепь обратной связи и запишем выражение для коэффициента усиления усилителя:

K_ус= = K_усexp iψ_ус,

где U_mвых и U_mвх- соответсвенно комплексные амплитуды выходного и входного напряжения;

K_ус= - модуль коэффициента усиления;

ψ_ус- его аргумент, учитывающий сдвиг фаз между входным и выходным напряжением усилителя. Предположим, что в качестве колебательной системы использован одиночный колебательный контур, резонансное сопротивление которого R_рез. Тогда

U_mвых=I_m1R_рез,

где I_m1- амплитуда первой гармоники выходного тока усилительного прибора. Связь между значениями I_m1 и U_mвх устанавливается с помощью соотношения Im1≈S_ср U_mвх, в котором S_ср – средняя крутизна вольт-амперной характеристики усилительного элемента. В любом реальном усилителе эта характеристика нелинейная, поэтому средняя крутизна S_ср зависит от амплитуды входного напряжения U_mвх. Так, при малых значениях U_mвх крутизна характеристики S_ср практически равна статической крутизне в рабочей точке, при увеличении U_mвх она уменьшается.

Подставляя значение I_m1 из последнего уравнения в выражение для U_mвых, получаем:

U_mвых= S_ср U_mвх R_рез.

Тогда

K_ус= S_ср R_рез и K_ус= S_ср R_рез exp jψ_ус.

Коэффициент передачи цепи обратной связи

K_ус= = K_о.с.exp jψ_о.с.,

где K_о.с. = – модуль коэффициента передачи; ψ_о.с. – его аргумент, определяющий сдвиг фаз между входным напряжением цепи обратной связи.

Результирующий коэффициент передачи усилителя, охваченного обратной связью, К=К_усК_ос. Если в колебательной системе установятся синусоидальные колебания с постоянной амплитудой (стационарный режим),

К=К_усК_ос= = 1 (1)

Подставляя в уравнение (1) значения К_ус и K_о.с., получаем

K= S_ср R_рез exp(jψ_ус) К_ос exp (jψ_о.с)= К_ос S_ср R_рез exp[j(ψ_ус+ ψ_о.с)]=1. (2)

Уравнение (2) выражает условие стационарности автогенератора. Это уравнение распадается на два:

К_ос S_ср R_рез = 1, или К_осК_ус=1 (3)

ψ_ус+ ψ_о.с=0; 2π 4π; … (4)

1.Условие баланса амплитуд.

Соотношения (3) называют условием баланса амплитуд: в стационарном режиме коэффициент передачи по замкнутому кольцу генератора (элементы 1-3 на рис.№ 1) равен единице. В этом условии величины К_ос и R_рез не зависят от амплитуды напряжения на входе усилительного элемента, а S_ср- зависит (с увеличением U_mвх средняя крутизна S_ср уменьшается). Следовательно, условие баланса амплитуд выполняется лишь при определенном значении U_mвх, т.е. при определенной амплитуде колебаний U_mвых. Из (3) получаем

К_ос = . (5)

Если К_ос>, амплитуда колебаний на выходе автогенератора нарастает до тех пор, пока вновь не выполниться условие (3). При К_ос< возникновение колебаний невозможно, поскольку энергия, поступающая в колебательную систему, недостаточна для компенсации потерь. Таким образом, условие баланса амплитуд определяет, с одной стороны, стационарную амплитуду выходных колебаний, а с другой – наименьший коэффициент передачи цепи обратной связи, обеспечивающий самовозбуждение генератора. Этот коэффициент К_о.с.кр называют критическими. Надежное самовозбуждение генератора возможно только при К_ос> К_о.с.кр.

2. Условие баланса фаз.

Это условие определяется (4): в стационарном режиме суммарный угол сдвига фаз при обходе замкнутого кольца автогенератора должен быть равен нулю или целому числу 2π.

В цепях автогенератора могут быть следующие сдвиги фаз.

· Сдвиг фаз на угол ψ₁=π, создаваемый усилительным элементом (например, транзистор при его включении по схеме с общим эмиттером), между его входным U_mвх и выходным U_mвыхнапряжениями.

· Сдвиг фаз на угол ψ_о.с. возникающий в цепи обратной связи между её входным U_mвх и выходным U_mвых напряжениями.

· Сдвиг фаз на угол ψ₂ между напряжениями на входе усилительного элемента U_mвх и первой гармоникой его выходного тока I_m1. Этот сдвиг возникает на очень высоких частотах и при правильном выборе лампы или транзистора угол ψ₂≈0⁰.

· Сдвиг фаз на угол ψ₃ между напряжением U_mвых и током I_m1. Если колебательный контур точно настроен на частоту первой гармоники выходного тока, угол ψ₃≈0⁰.

Таким образом, условие (4) можно переписать в следующем виде:

ψ₁+ ψ₂+ ψ₃+ ψ_о.с= 180⁰+0⁰+ ψ_о.с= 0; 360^0;720⁰,… или ψ_о.с =±180⁰ (6)

Соотношение означает, что для выполнения условия баланса фаз цепь обратной связи должна изменять фазу подводимого к ней переменного напряжения U_mвых и 180⁰. В большинстве автогенераторов существует лишь одна частота, на которой выполняется условие баланса фаз, т.е. на которой возможно генерирование колебаний. Следовательно, условие (4) определяет частоту автоколебаний ω_авт.