1. Пусть к обкладкам конденсатора емкостью С (рис. 1-12, а) приложено синусоидальное напряжение u= Um sinώt . Активным и индуктивным сопротивлениями этой цепи пренебрежем, считая R = 0 и xL = 0. Тогда при установившемся режиме через конденсатор С, как известно, будет протекать некоторый переменный ток i. Выясним форму и определим фазу этого тока и сравним их соответственно с формой и фазой приложенного напряжения u.
Мгновенное значение тока в цепи с емкостью представим равным скорости изменения электрического заряда q на обкладках конденсатора
Так как q — С u с и в любой момент времени напряжение на обкладках конденсатора уравновешивается приложенным напряжением u, то
При = 1 ток i становится максимальным:
тогда
i = 𝝎CUm=Im(1)
i=Im
т. е. ток, как и приложенное напряжение, изменяется по закону синуса, но опережает его по фазе на .
Деля соотношение(1) на √2получим:
𝝎CU=I, или U=I
здесь — имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением; обозначается
Соотношение I= представляет собой математическую запись закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.
Найдем выражения для мгновенной и средней (активной) мощности в случае чисто емкостной цепи.
Мгновенная мощность
Ρ=iu= изменяется по закону синуса с удвоенной частотой
При этом положительные значения мощности (нечетные четверти периода) соответствуют потреблению энергии конденсатором (энергия запасается электрическим полем конденсатора), отрицательные значения соответствуют возврату запасенной энергии обратно источнику.
Средняя за период мощность (активная) в этой цепи равна нулю:
т. е. в идеализированной цепи переменного тока с конденсатором
происходит лишь периодический обмен электрической энергией
между источником и этим конденсатором.
2. Опыт показывает, что если последовательно с лампочкой соединить конденсатор и подключить их к генератору постоянного напряжения, то лампочка не горит. Это понятно, так как обкладки конденсатора разделены диэлектриком, и цепь оказывается разомкнутой. При подключении конденсатора к источнику постоянного тока возникает кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Но если эту цепь подключить к источнику переменного напряжения, то лампочка горит. Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, происходящие под действием переменного электромагнитного поля генератора. При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается, и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор снова заряжается, но знак заряда на его обкладках изменяется на противоположный и т.д. Через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, как и в цепи постоянного тока, электрические заряды не проходят. Но по проводам, соединяющим обкладки конденсатора с источником напряжения, течет переменный ток разрядки и зарядки конденсатора. Поэтому лампочка, включенная последовательно с конденсатором, будет гореть непрерывно. Если теперь конденсатор отсоединить, то лампочка горит ярче. Следовательно, конденсатор оказывает переменному току сопротивление, которое называется емкостным сопротивлением.
Рассмотрим цепь (рис. 1), состоящую из конденсатора и подводящих проводов, сопротивление которых пренебрежительно мало, и генератора переменного напряжения.
Рис. 1
Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по закону U=U0sinwt. Как известно, заряд на обкладках конденсатора можно определить по формуле q=CU=CU0sinwt. Сила тока I=q′. Следовательно,
I=−wCU0coswt=wCU0sin(wt+π2).
Отсюда I=I0sin(wt+π2),
где I0=wCUo — амплитудное значение силы тока:
I0=U01wC;I0=U0XC,
где XC=1wC.
Выразив амплитудные значения через действующие I0=2√I и U0=2√U, получим I=UXC, т.е. действующее значение силы тока связано с деиству-Хс ющим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это позволяет рассматривать величину Хс как сопротивление конденсатора переменному току:
XC=1wC — емкостное сопротивление.
В СИ единицей емкостного сопротивления является ом (Ом).
Как видно из полученной выше формулы, если в цепи включено только емкостное сопротивление, колебания силы тока в этой цепи опережают по фазе колебания напряжения на конденсаторе на π2, что изображено на графике и на векторной диаграмме (рис. 2).
т.е. мощность периодически изменяется с двойной частотой, а среднее значение мощности — за период hPi=0,так как hsin2wti=0. Первую и третью четверти периода, когда конденсатор заряжается, он получает энергию от генератора, а вторую и четвертую четверти периода, когда конденсатор разряжается, он отдает энергию генератору.
Таким образом, так же, как активное сопротивление, емкостное сопротивление ограничивает силу тока в цепи, но в отличие от активного сопротивления на емкостном сопротивлении электрическая энергия не превращается необратимо в другие виды энергии.
Реактивная мощность цепи Q = QL– QC= I2x, ВАР,– это та мощность, которой приемник обменивается с сетью. Полная мощность цепи – S – UI = I2z, ВА, cos φ = коэффициент мощности цепи. Тогда P = S cos φ = UI cos φ; Q = S sin φ = UI sin φ;
За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАР), полной мощности – вольт-ампер(ВА).
Реактивные (индуктивная, емкостная) мощности, обусловленные соответственно энергией магнитного поля индуктивности и электрического поля емкости, не совершают никакой полезной работы, но они оказывают существенное влияние на режим работы электрической цепи. Циркулируя по проводам трансформаторов, генераторов, двигателей, линий передач, они нагревают их. Поэтому расчет проводов и других элементов устройств переменного тока производят исходя из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную мощности.
Рис. 18. Схема включения приборов дм измерении активной, реактивной и полной мощностей цепи, a также ее параметров
Коэффициент мощности имеет большое практическое значение: он показывает, какая часть полной мощности является активной мощностью. Полная мощность и коэффициент мощности наряду с другими параметрами являются расчетными величинами и в конечном счете определяют габаритные размеры трансформаторов, генераторов, двигателей и других электротехнических устройств.
Измерение активной, реактивной, полной мощностей и cos φ, а также параметров цепи, например r и L, можно произвести с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра, включенных в цепь по схеме, изображенной на рисунке 18.
Ваттметр измеряет активную мощность Р цепи. Полная мощность цепи равна произведению показаний вольтметра и амперметра.
Реактивную (индуктивную) мощность и коэффициент мощности цепи (рис. 18) определяют расчетным путем по формулам:
Активное сопротивление находят из формулы:
Полное сопротивление цепи -
Индуктивное сопротивление -
Индуктивность L определяют из формулы: xL= 2pL,
откуда
Вопрос4. 1Неразветвленная RLC-цепь переменного тока. 2Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей. 3Реактивное и полное сопротивления. 4Реактивная и полная мощности. 5Коэффициент мощности.
1. сли неразветвленная цепь R, L, C(рис.3.12) подключена к синусоидальному напряжению, то в ней установится синусоидальный ток i=Imsinwt (для простоты положим, что его начальная фаза равна нулю). Поскольку мы разобрали поведение R, L, C при синусоидальном токе, то можем записать:
Действующие значения этих напряжений: UR=I·r; UL=I·wL=I·xL;· UC=I/w·C=I·xC. (1)
Н а основании второго закона Кирхгофа в любой момент времени входное напряжение должно быть u= uR+ uL +uC , т.е. оно равно сумме трех синусоидальных величин. Эту сумму проще всего определить с помощью векторной диаграммы. На рис.3.13 показана диаграмма для случая, когда UL>UC , что совершенно не обязательно. Из этой диаграммы запишем:
Условились величину UL-UCназыватьреактивным напряжением Up=UL-UC. Ясно, что Up может быть как положительным, так и отрицательным. Тогда
.
С учетом (1), запишем
или
- это закон Ома для цепи R, L, C,
г де
z называется полным или кажущимся сопротивлением данной цепи, аx=xL-xC - называется её реактивным сопротивлением; оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Р ^ R азделив диаграмму напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис.3.14), из которого следует, что z является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются R и x.
Как следует из векторной диаграммы, вектор напряжения не совпадает по фазе с вектором тока, а сдвинут на угол φ. В электротехнике условились под углом сдвига фаз напряжения и тока понимать угол φ=ψu- ψi.Поэтому на диаграммах угол φ всегда отсчитывается от вектора тока к вектору напряжения, он положительный при отстающем токе (как на приведенной диаграмме) и отрицательный при опережающем токе. Угол φ может быть определён как из векторной диаграммы, так и из треугольника сопротивлений, а именно:
Однако эта формула не дает ответа на вопрос о знаке угла φ, поэтому чаще его определяют так:
Как следует из этих формул, величина и знак угла φ определяются только соотношением между R, L и С.
После определения всех величин можно записать окончательный ответ для входного напряжения:
u=Umsin(ωt+ φ).
В общем случае, когда последовательно соединено много R, много L и много С, выражения для полного сопротивления цепи и её угла φ принимают вид:
3. Полное сопротивления Z
модуль комплексного сопротивления:
строим треуг-к Пифо
Знак угла φ в выражениях для мгновенного значения тока i определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки (X>0) ток отстаёт от напряжения на угол φ и в выражении для мгновенного значения тока угол φ записывают со знаком минус, то есть ; при емкостном характере нагрузки (X<0) ток опережает напряжение на угол φ и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть .
2)
Тоже строим прямоугольный треугольник
Отношение Р к S, равное , называется коэффициентом мощности.
3. Чтобы проанализировать соотношение между током и напряжением для контура, изображенного на рис. 8, предположим, что заряд на левой пластине конденсатора дается выражением
,
а заряд на правой пластине равен – q. Здесь Q – максимальный заряд (Кл), t – время (с), а = 2f, где f – частота переменного тока (Гц). Ток через каждый элемент цепи равен:
где максимальный ток Iмакс равен Q. Переменное падение напряжения на конденсаторе равно:
Согласно закону Ома, падение напряжения на резисторе дается выражением
Падение напряжения всей цепи от a до b равно:
или
где
причем
Величина XL называется индуктивным сопротивлением и выражается в омах, если L – в генри; величина XC называется емкостным сопротивлением и выражается в омах, если C – в фарадах. Полное реактивное сопротивление цепи X также выражается в омах. Формулу (19) можно привести к простому и более ясному виду, использовав тригонометрическое тождество cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Поскольку R и X выражены в омах, их можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника для определения угла (рис. 9). Гипотенуза
называется полным сопротивлением (импедансом) последовательного соединения. На рис. 9 изображен треугольник полного сопротивления, из которого явствует, что R = Z cos , X = Z sin и tg = X/R. Выражение (19) можно переписать в виде v = IмаксZ (cos cos t – sin sin t), что сводится к выражению
если использовать вышеприведенное тригонометрическое тождество; выражение (21) можно переписать в виде
где
Из формулы (21) следует, что напряжение v на зажимах цепи максимально при t = /, тогда как ток i максимален при t = 0, т.е. ток отстает по фазе от напряжения на угол . Таким образом, ток отстает по фазе от напряжения, если преобладает индуктивное сопротивление, т.е. если XL больше XC. Ток опережает напряжение, если преобладает емкостное сопротивление, т.е. XC больше XL. Отметим, что соотношение (22) отличается от закона Ома лишь тем, что в нем активное сопротивление Rзаменено полным сопротивлением Z.
Если сопротивление R и максимальное падение напряжения на зажимах цепи поддерживаются постоянными, то наибольшее значение максимального тока Iмакс отвечает равенству двух реактивных сопротивлений. Если индуктивность и емкость тоже постоянны, то можно добиться равенства их реактивных сопротивлений, изменяя частоту переменного тока. Это достигается при круговой частоте
в таком случае говорят о резонансной настройке цепи.
Выше предполагалось, что переменный ток в цепи установился. В действительности же при подключении цепи к источнику переменного напряжения в ней возникают переходные процессы. Если сопротивление цепи не пренебрежимо мало, переходные токи выделяют свою энергию в виде тепла в резисторе и достаточно быстро затухают, после чего устанавливается стационарный режим переменного тока, что и предполагалось выше. Во многих случаях переходными процессами в цепях переменного тока можно пренебречь. Если же их необходимо учитывать, то нужно исследовать дифференциальное уравнение, описывающее зависимость тока от времени.
4 -5На рис. 1а изображена электрическая цепь с параллельным соединением активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С (показана пунктиром). Ко входным зажимам цепи приложено синусоидальное напряжение
В ветвях цепи проходят токи
активный
индуктивный
(индуктивный ток отстает по фазе от напряжения на 90°). Графики токов и напряжений показаны на рис. 1б. На первой стадии анализа ток в емкости не учитываем (считаем, что она отключена).
Произведение мгновенных значений напряжения и и тока i в элементе цепи называют мгновенной мощностью этого элемента.
Для активного сопротивления
График мгновенной мощности, выделяемой на R, приведен на рис. 1.14, в.
Среднее за период значение pR называют активной мощностью и обозначают буквой Р.
Из рис. 1 видно, что значение Р не равно нулю. Это говорит о том, что энергия, потребляемая активным сопротивлением, преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую и др.) и уходит из электрической цепи. Физический смысл активной мощности — электрическая энергия, потребленная активным сопротивлением электрической цепи за 1 секунду.
Мгновенная мощность в индуктивности равна
График мгновенной мощности в индуктивности приведен на рис. 1г. Как видно из рис. 1г, pL изменяется с двойной частотой по сравнению с током и напряжением.
Среднее за период значение мощности в индуктивности равно нулю, т. е.
Это означает, что потребляемая индуктивностью энергия не преобразуется в другие виды энергии, т. е. не уходит из электрической цепи. Этой энергией обмениваются между собой элементы цепи. В частности, в рассматриваемой цепи (при отсутствии емкости) этой энергией обмениваются источник питания и индуктивность.
Условная величина, равная произведению действующих значений приложенного к индуктивности напряжения и тока в ней, называется реактивной мощностью QL, потребляемой индуктивностью. Ее измеряют в вар (вольт—ампер реактивный), квар, Мвар.
Чтобы избежать потерь активной мощности и электрической энергии в электрических цепях, обусловленных током в индуктивности, в системах электроснабжения с индуктивными элементами, например, асинхронными электродвигателями, устанавливают батареи статических конденсаторов (БСК). При этом полностью или частично компенсируются токи, подводимые от источника питания к индуктивным элементам цепи.
Механизм влияния конденсатора на обмен мощностями в цепи заключается в следующем. Пусть к цепи, изображенной на рис. 1а, подключен конденсатор С. Ток в емкости равен
где Icm — амплитуда тока в емкости. Ток в емкости опережает приложенное напряжение на 90°. Мгновенная мощность в емкости равна
График мгновенной мощности в емкости приведен на рис. 1д. Из него видно, что
- мгновенная мощность рс изменяется с двойной частотой по отношению к кривым тока и напряжения;
- среднее за период значение рс равно нулю, т. е., как и в индуктивности, энергия, запасенная в емкости, не преобразуется в другие виды энергии (не уходит из электрической цепи);
- емкость запасает энергию в те моменты времени, когда индуктивность ее отдает. Это означает, что емкость и индуктивность могут обмениваться энергией. В связи с этим отпадает необходимость в обмене энергией QL между источником питания и индуктивностью, а можно обеспечить более короткий путь обмена этой энергией путем подключения конденсатора возможно ближе к индуктивности. В случае электрического резонанса (для рис. 1а XL = Хс) реактивные токи циркулируют в контуре L—С и не проходят через источник питания, т. е. нет дополнительных потерь электрической энергии в цепи между источником питания и индуктивностью от прохождения реактивного тока.
Рис. 1. К понятиям активной и реактивной мощностей
По аналогии с реактивной мощностью QL используют условное понятие реактивной мощности Qc = U · 1с, генерируемой емкостью. Условно принято считать индуктивности потребителями реактивной энергии, а емкости — ее источниками, т. е. Qc считают положительной, a QL — отрицательной. Возможность обмена энергией между индуктивными (асинхронные двигатели, силовые трансформаторы) и емкостными (батареи статических конденсаторов, сокращенно БСК) элементами лежит в основе идеи компенсации реактивной мощности в электрических сетях.
При отсутствии БСК (рис. 2) в токе нагрузки можно выделить активную Iа и реактивную Iр составляющие. В системе передачи электроэнергии имеют место дополнительные потери АР и AW, обусловленные током Iр. Потери мощности, обусловленные реактивным током Iр, создаются в генераторе G, трансформаторах Т1, Т2, ТЗ и линиях W1, W2.
Если к шинам подстанции с трансформатором ТЗ подключить БСК (показана пунктиром), то при условии IL = Icбудет происходить обмен энергией между БСК и М. В системе передачи энергии, кроме стороны 0,4 кВ подстанции, 1р = 0, т. е. нет потерь АР и AW от реактивной составляющей тока в линиях W1, W2 и трансформаторах Т1, Т2, ТЗ. Если равенство IL = Ic не выполняется, то источник питает приемник реактивным током ip = iL - ic.
Необходимость введения понятия реактивной мощности обусловлена тем, что при прохождении реактивного тока по проводам линий электропередачи, обмоткам трансформаторов и др. имеют место потери активной мощности и энергии. Показатель tgφ = | QL - Qc |/P является характеристикой цепи, показывающей, какую часть от потерь активной мощности в цепи, обусловленных прохождением активного тока, составляют потери, вызванные прохождением реактивного тока. Эта величина называется коэффициентом реактивной мощности.
Рис. 2. Компенсация реактивной мощности
В расчетах за электроэнергию используется условное понятие реактивной энергии, равной в простейшем случае постоянства Q произведению Wp = Q · Т, где Т — интервал времени, за который производится расчет оплаты. Необходимость введения этого понятия обусловлена тем, что реактивные токи создают дополнительные (по отношению к активным токам) потери активной мощности и энергии в активных сопротивлениях электрической цепи. В частности, дополнительные потери электрической энергии на внутреннем активном сопротивлении источника питания г. (рис. 1а) за время Т равны
где Iр — действующее значение реактивного тока.
Для расчета тока в цепи используют условное понятие полной мощности S
Размерность [S] = В · А; кВ · A; MB · А.
По полной мощности S удобно выбирать сечения токоведущих частей и номинальные токи силовых трансформаторов и электрических аппаратов. Например, если известны номинальные полная мощность SH0M и напряжение UH0M однофазного силового трансформатора, то его номинальный ток определяется как Iном = SH0M / UH0M. Номинальный ток трехфазного силового трансформатора определяют по выражению
где UH0M — номинальное линейное напряжение.
Отношение активной мощности цепи к ее полной мощности называют коэффициентом мощности cos φ = P/S. Отношение реактивной мощности цепи к ее полной мощности не имеет специального названия и обозначается как sin (QL — Qc)/S. Удобство введения условных понятий реактивной и полной мощностей заключается в том, что благодаря их использованию удается представить Р, О, S в виде прямоугольного треугольника мощностей (рис. 3).
Рис. 3. Треугольник мощностей электрической цепи
Использование коэффициента мощности cos φ удобно при расчете активной мощности по известной полной мощности, а коэффициента реактивной мощности tg φ — в расчетах реактивной мощности при известной активной мощности.
Электротехническое оборудование характеризуют следующими номинальными мощностями:
- генераторы и электродвигатели — активной мощностью, т. к. они работают с турбинами и приводимыми во вращение механизмами, соответственно. Генераторы и электродвигатели выбирают по мощностям механизмов, для которых понятие реактивной мощности бессмысленно;
- трансформаторы — полной мощностью, т. к. сечения проводов обмоток и магнитопровода определяются током, а не только его активной или реактивной составляющей. Передача энергии в трансформаторе происходит с помощью электромагнитного поля, создаваемого активными и реактивными токами, т. е. целесообразно использовать понятие полной мощности;
- БСК — реактивной мощностью, т. к. по ним проходит только реактивный ток.
Вопрос5. Резонанс напряжений. Полное, реактивное и активное сопротивления при резонансе. Коэффициент мощности при резонансе. Соотношения между полным, индуктивным и емкостным напряжениями при резонансе.
1 Если в цепь переменного тока включены последовательно катушка индуктивности и конденсатор, то они по-своему воздействуют на генератор, питающий цепь, и на фазовые соотношения между током и напряжением.
Катушка индуктивности вносит сдвиг фаз, при котором ток отстает от напряжения на\четверть периода, конденсатор же, наоборот, заставляет напряжение в цепи отставать по фазе от тока на четверть периода. Таким образом, действие индуктивного сопротивления на сдвиг фаз между током и напряжением в цепи противоположно действию емкостного сопротивления.
Это приводит к тому, что общий сдвиг фаз между током и напряжением в цепи зависит от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений.
Если величина емкостного сопротивления цепи больше индуктивного, то цепь носит емкостный характер, т. е. напряжение отстает по фазе от тока. Если же, наоборот, индуктивное сопротивление цепи больше емкостного, то напряжение опережает ток, и, следовательно, цепь носит индуктивный характер.
Общее реактивное сопротивление Хобщ рассматриваемой нами цепи определяется путем сложения индуктивного сопротивления катушки XL и емкостного сопротивления конденсатора ХС.
Но так как действие этих сопротивлений в цепи противоположно, то одному из них, а именно Хс приписывается знак минус, и общее реактивное сопротивление определяется по формуле:
Хобщ = XL -ХС, XL = ?L, ХС = 1 / ?С
Применив к этой цепи закон Ома, получим:
I = U / Хобщ
Формулу эту можно преобразовать следующим образом:
U = I Хобщ = I (XL -ХС) = IXL -IХС
В полученном равенстве IXL —действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление индуктивного сопротивления цепи, а IХС—действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление емкостного сопротивления.
Таким образом, общее напряжение цепи, состоящей из последовательного соединения катушки и конденсатора, можно рассматривать как состоящее из двух слагаемых, величины которых зависят от величин индуктивного и емкостного сопротивлений цепи.
Мы считали, что такая цепь не обладает активным сопротивлением. Однако в тех случаях, когда активное сопротивление цепи не настолько уже мало, чтобы им можно было пренебречь, общее сопротивление цепи определяется следующей формулой:
где R — общее активное сопротивление цепи, XL -ХС — ее общее реактивное сопротивление. Переходя к формуле закона Ома, мы вправе написать: U = I / Z
= 1 ток i становится максимальным:
.
представляет собой математическую запись закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.
изменяется по закону синуса с удвоенной частотой
1. 
=UCmsin(wt-90o).
а основании второго закона Кирхгофа в любой момент времени входное напряжение должно быть u= uR+ uL +uC , т.е. оно равно сумме трех синусоидальных величин. Эту сумму проще всего определить с помощью векторной диаграммы. На рис.3.13 показана диаграмма для случая, когда UL>UC , что совершенно не обязательно. Из этой диаграммы запишем:
.
- это закон Ома для цепи R, L, C,
де
строим треуг-к Пифо
; при емкостном характере нагрузки (X<0) ток опережает напряжение на угол φ и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть 
.
, называется коэффициентом мощности.
,
