Задача 10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

Дано уравнение

(1)

С постоянными вещественными коэффициентами .

Общее решение неоднородного уравнения или уравнения с правой частью равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения

Для правых частей специального вида частное решение можно найти так называемым методом подбора.

Общий вид правой части уравнения (1), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

(2),

где многочлены степени соответственно.

В этом случае частное решение уравнения (1) находится в виде

(3),

где – многочлены от –й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а – кратность корня характеристического уравнения (если не является корнем характеристического уравнения, то ).

Частные случаи , определяемые формулой (2):

I. .

1) если число не является корнем х.у., то

где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами.

2) число является корнем кратности , то

II. , то

если

1) не является корнем х.у., то

, .

2) число является корнем х.у. кратности , то

III. , то

если

1) число не является корнем х.у., то

2) число является корнем х.у. кратности , то

Замечание. Первые два вида являются частными случаями III вида.

Пример 16. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристической уравнение (х.у.) имеет различные корни , поэтому общее решение

Находим частное решение ; это многочлен – не является корнем х.у., поэтому

А, В, С – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Подставляя в уравнение, получим

Откуда

Решая систему, находим . Следовательно, и общее решение будет

Пример 17. Решить уравнение .

Решение.

– нее является корнем х.у., поэтому

Подставляя в уравнение

Приравнивая коэффициенты при слева и справа, получим систему уравнений относительно неизвестных А и В.

Замечание. Если правая часть уравнения (1) имеет вид: , то частное решение уравнения (1) , где – частное решение уравнения ; – частное решение уравнения .