Задача 8. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Укажем три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

I. Уравнение вида

(1)

После n– кратного интегрирования получается общее решение.

II. Уравнение не содержащее искомой функции и ее производных до порядка включительно

. (2)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой

.

Тогда уравнение (2) примет вид .

Из последнего уравнения, если это возможно, определяют , а затем находят из уравнения

,

– кратным интегрированием.

III. Уравнение не содержит независимого переменного

. (3)

Подстановка , позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Все производные выражаются через производные от новой функции :

Пример 8.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

,

,

.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции и ее производной, уравнение II типа. Полагаем , тогда . После этого уравнения примет вид .

Разделяя переменные, найдем , заменяя на , получим . Интегрируя последовательно, будем иметь

.

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение III типа. Введем обозначение , получим - уравнение Бернулли. Подстановкой оно сводится к линейному уравнению .

Заменяя на , получим . Интегрируя, будем иметь

или ; .

Замечание. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Решение.

Полагая , получим или откуда ; .

Разделяя переменные, найдем . Интеграл в правой части в элементарных функциях не вычисляется, как интеграл от дифференциаль-

ного бинома, случай неберущегося интеграла.

Но если использовать начальные условия , то и тогда

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

Решить уравнения, допускающие понижение порядка

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.