Решение

Будем использовать разбиение множества учащихся класса на попарно непересекающиеся подмножества - классы с помощью трех свойств :"быть лыжником"; "быть пловцом" и "быть велосипедистом".

Получим 8 классов :

лыжники пловцы 0 чел. 0 чел. Х 0 чел. Y Z 0 чел.   велосипедисты

Так как каждый спортсмен занимается только двумя видами спорта, устанавливаем, что численность четырех из восьми классов разбиения равна нулю (нет тех, кто занимается только лыжами, только плаванием, только велосипедом, и нет тех, кто одновременно занимается всеми тремя видами спорта).Численность же тех, кто составляет оставшиеся три класса спортсменов обозначим соответственно x, y, z. Далее, в соответствии с условием задачи, зная численность каждого из множеств, занимающихся лыжами, плаванием и велосипедом, получаем три уравнения :

x + z = 13

x + y = 8

y + z = 17

Сложим все уравнения и получим удвоенное число спортсменов : 2(x + y+ z)=38; значит всего спортсменов x + y+ z =19. Спортсмены учатся на "3" или на "4", следовательно , не являются отличниками, которых по условию в данном классе 6 человек. Всего в классе 25 человек, это и есть спортсмены и отличники, вместе взятые. Неуспевающих в этом классе, следовательно, нет.

Вариант 1.

1. Даны множества :

А = { yІ yÎR, 3 ≤ y ≤ 9} ; В ={ yІ yÎZ , 2 < y <10};

С = { y І yÎN , y ≤ 9}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А ∩(В U С)и А\С.

2. Даны множества :

Е = ( -1 ; ∞ ) и М = [2 ; 9] . Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, пересечение дополнений.

3. Даны множества Р и К :

Найдите К ∩ Р, К U Р, К \ Р, Р \ К, если :

а) К = [2, 9 ), Р =[-1, 8];

б) К = [2, 9 ], Р =(-1, 8];

в) К = (2, 9 ), Р =[-1, 8];

г) К = (2, 9 ], Р =[-1, 8).

4. Даны множества :

А= [-1,4 ],В= ( 0,6 ],С= [-3, 0],Д = ( 1, 8]

Найдите : а)((А U С) ∩ В) U Д,

б)((А \ В ) \ С) U Д,

в)(А ∩ В ) \( С ∩ Д ).

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна, если СÌ М, ЕÌ М,

С ∩ Е ¹ Ø . Отметьте штриховкой множество .

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна исследуйте вопрос о справедливости рассуждения :

Если А,В,С - подмножества универсального множества М такие, что и ,то ¹ Ø.

7.Докажите справедливость равенства :

8. Проверьте правильность классификации :

четырехугольники делятся на параллелограммы, трапеции и прямоугольники.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о количестве изучающих различные иностранные языки : английский язык изучают - 28 человек, немецкий - 30, французский -42, английский и немецкий - 8, английский и французский -10 человек, немецкий и французский - 5, все три языка одновременно изучают - 3 человека. Сколько студентов не изучают ни одного иностранного языка ? Сколько студентов изучают один только французский язык ? Сколько студентов изучают немецкий язык ? -один английский ? Сколько студентов изучают немецкий в том и только том случае, если они изучают французский ?

Вариант 2.

1. Даны множества :

А = { x І x ÎN , x > 3 }; В = { x І xÎZ , x < 5 } ,

С = { x І xÎR , 1 < x ≤ 7}

Изобразите их на числовой прямой и найдите (А ∩ В)\С и ВUС.

2. Даны множества :

Р= ] 0 ; 3 ] и К = [2 ; ∞ [ .Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, объединение дополнений.

3. Даны множества В и С :

Найдите В ∩ С, В U С,В \ С, С \ В, если :

а) В = [0, 8 [, С =[-6, 10];

б) В = [0, 8 [, С =]-6, 10];

в) В = ]0, 8 [, С =[-6, 10];

г) В = ]0, 8 [, С =[-6, 10[.

4.Даны множества :

А= [1,6] , В= [2,8] , С= [-2,3], Д= [1,5]

Найдите : а)А U В U С U Д,

б)( А ∩ В) U (С ∩Д),

в) ((А U В ) ∩ С ) U Д.

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна,

если Р ∩ К ∩ В ¹ Ø . Отметьте штриховкой множество

К ∩ ( Р U В ).

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна обоснуйте утверждение : тогда и только тогда, когда и .

7.Докажите справедливость равенства :

8. Проверьте правильность классификации :

целые неотрицательные числа делятся на составные и простые числа.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимается 21 человек, среди которых 3 человека занимаются еще и в конькобежной секции, 6 человек еще в хоккейной секции и 1 человек занимается одновременно во всех трех секциях одновременно. В конькобежной секции занимаются 13 человек, среди которых 5 человек занимаются одновременно в двух секциях. Сколько человек в хоккейной секции ?

Вариант 3.

1. Даны множества :

А = { yІ yÎR, 2 <y ≤ 7} ; В ={ yІ yÎZ , 1 < y <6};

С = { y І yÎN , y ≤ 8}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А U(В \ С)и В∩С.

2. Даны множества :

О= ] 5 ; 13 ] и Н = [- ∞ ; 7 [ .Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, объединение первого с дополнением второго.

3. Даны множества М и К:

Найдите М ∩ К, М U К,М \ К, К \ М, если :

а) М = [-2, 2 ], К =[-∞, 8];

б) М = [-2, 2 ], К =]-∞, 8];

в) М = ]-2, 2 [, К =[-∞, 8];

г) М = ]-2, 2 [, К =[-∞, 8[.

4. Даны множества :

А= [1,3], В= ]2,5] ,С= [3,7[ ,Д= ]0,4[.

Найдите : а)(А ∩ В) \ (С ∩ Д)

б) (А U В ) \ (В U Д)

в)(А U Д )∩(В U С ).

5. Начертите диаграмму Эйлера-Венна, если

Р ∩ М ∩ О ¹ Ø .Отметьте штриховкой множество

( М ∩ Р ) U ( М ∩ О ).

6. С помощью диаграммы Эйлера-Венна обоснуйте утверждение :

Для того, чтобы , необходимо и достаточно .

7.Докажите справедливость равенства :

8. Проверьте правильность классификации :

натуральные числа делятся на четные, нечетные и кратные числу 3.

9.Докажите, что пересечение множеств и образует пустое множество.

10. Среди 150 школьников марки собирают только мальчики. Отечественные марки собирают 67 человек, марки Африки - 48 человек, марки Америки - 34 человека, только марки России - 11 человек, только Африки - 7, только Америки - " человека. Лишь один школьник собирает марки России, Африки и Америки. Сколько девочек среди 150 школьников ?

Вариант 4.

1. Даны множества :

А = { x І x ÎR , x >13 }; В = { x І xÎZ , x <7 };

С = { x І xÎ N , 4 < x ≤12}

Изобразите их на числовой прямой и найдите А ∩(В \ С)и В\А.

2. Даны множества :

В = ]-∞ ; 6 ] и П = [5 ; ∞ [ .Найдите дополнения этих множеств до множества всех действительных чисел, пересечение первого с дополнением второго.

3. Даны множества О и Р :

Найдите О ∩ Р, О U Р,О \ Р, Р \ О, если :

а) О = [-3, ∞ [, Р =[-6, 8];

б) О = -3, ∞ [, Р =]-6, 8];

в) О = ]-3, ∞ [, Р =[-6, 8];

г) О = ]-3, ∞ [, Р =[-6, 8[.

4. Даны множества :

А= [2,7[, В= [1,8], С= [-1,5[, Д= [0,3].

Найдите : а) (А ∩ С) U ( В \ Д)

б)((А ∩ Д)\С)U В

в)(А\(В U Д)) ∩ С .

5. Начертите диаграмму Эйлера -Венна, если

К ∩ М ∩ Е ¹ Ø. Отметьте штриховкой множество

К U ( М ∩ Е ).

6.С помощью диаграммы Эйлера-Венна исследуйте вопрос о справедливости рассуждения :

Если А, В, С - подмножества множества М такие, что и ,то = Ø.

7.Докажите справедливость равенства :

8.Проверьте правильность классификации :

треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

9.Докажите, что объединение множеств , , и образует универсальное множество , подмножествами которого являются и .

10. При обследовании 100 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки : только немецкий -18 человек; немецкий, но не испанский - 23; немецкий и французский - 8 человек; немецкий - 26; французский - 48; французский и испанский - 8; никакого иностранного языка - 24 человека. Сколько студентов изучают испанский язык ? Сколько студентов изучают немецкий и испанский, но не французский ?