Вычисление коэффициентов линейного уравнения

Предположим, что взаимосвязь индекса состояния древостоя от расстояния до источника промвыбросов носит линейный характер. В таком случае, она должна подчиняться следующему уравнению:

J_i = -a × Xi + b (4)

Для того, чтобы вычислить коэффициенты этой прямой, следует воспользоваться методом наименьших квадратов, суть которого заключается в отыскании таких коэффициентов а и b, при которых сумма квадратов отклонений в каждой точке теоретических (рассчитанных по уравнению прямой) значений от значений, полученных при полевых наблюдениях (экспериментальных) стремилась бы к минимуму. Иными словами, чтобы теоретически полученная прямая проходила как можно ближе к экспериментальным точкам.

n

Введем функцию L = å(J_i + aX_i - b)² min (5)

i=1

dL n

= 2 å(J_i + aX_i - b) × X_i = 0

da i=1

dL n

= 2 å(Ji + aXi - b) × (-1) =0

db i=1

n n n

åJ_iX_i + aå(X_i²) - båX_i =0

i=1 i=1 i=1

n n

-åJ_i - aåX_i + nb = 0

i=1 i=1

Решая приведенную систему методом подстановки или по формуле Крамера, получаем значения линейных коэффициентов а и b в формуле (4). Затем на график зависимости индекса состояния древостоев от расстояния до источника промвыбросов наносится прямая линия согласно уравнению (4). Для этого кроме коэффициентов а и b в уравнение следует подставить какие-нибудь два значения расстояния от источника промвыбросов, нанести полученные значения Ji_(расч) на график (рис.1) и соединить эти две точки прямой линией. Подставляемые в формулу (4) значения расстояний должны лежать в пределах расстояний, использовавшихся при полевых наблюдениях.

Тот факт, что зависимость индекса состояния древостоев от расстояния до источника промвыбросов носит линейный характер, является пока лишь нашим предположением, которое надо обосновать. Для этого необходимо рассчитать коэффициент корреляции между рядом экспериментально полученных индексов состояния древостоев (табл.1) и индексов, рассчитанных для этих же расстояний по уравнению (4). Для расчета индексов состояния необходимо последовательно подставлять в уравнение (4) значения расстояний, на которых находились от источника промвыбросов пробные площади. Расчет коэффициента корреляции производится по формуле (2).