МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО РОЗРАХУНКУ СКЛАДНИХ КІЛ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ МАТРИЧНИМИ МЕТОДАМИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ ІІ КУРСУ МЕХАНІЧНИХ ТА ТЕХНОЛОГІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

Затверджено на засіданні

кафедри електротехніки.

Протокол № 22 від 30.05.2012.

Дніпропетровськ УДХТУ 2013

Методичні вказівки до розрахунку складних кіл постійного струму матричними методами для студентів ІІ курсу механічних та технологічних спеціальностей / Укл.: В.М. Замурніков, С.Г. Павлюс, Л.В. Корєпанова. – Дніпропетровськ: ДВНЗ УДХТУ, 2013. – 15 с.

Укладачі: В.М. Замурніков, канд. тех. наук

С.Г. Павлюс, канд. тех. наук

Л.В. Корєпанова

Відповідальний за випуск С.Г. Павлюс, канд. тех. наук

Навчальне видання

Методичні вказівки до розрахунку складних кіл постійного струму матричними методами для студентів ІІ курсу механічних та технологічних спеціальностей

Укладачі: ЗАМУРНІКОВ Володимир Михайлович

ПАВЛЮС Степан Григорович

КОРЄПАНОВА Людмила Віталіївна

Авторська редакція

Підписано до друку 03.06.13. Формат 60´84¹/₁₆. Папір ксерокс. Друк різограф. Ум.-друк. акр. 0,68. Обл.-вид. арк. 0,73. Тираж 50 прим. Зам. № 304. Свідоцтво ДК № 303 від 27.12.2000.

ДВНЗ УДХТУ, 49005, м. Дніпропетровськ-5, просп. Гагаріна, 8.

ВСТУП

Поточні методичні вказівки є доповненням до методичних вказівок №1369, а саме практичної роботи №2 «Розрахунок складних електричних кіл постійного струму з кількома джерелами живлення». Доповнення стосуються розрахунків кіл методами законів Кірхгофа та контурних струмів [1,3], де є необхідність розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з 3 – 4 невідомими. Пропонується робити це, використовуючи матричні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь [2].

Розглянемо обидва методи розрахунків у загальному вигляді на прикладі кола з двома вузлами, яке зображене на рис. 1.

A

E₁ E₂ E₃ E₄

R₁^' R₂^' R₃^' R₄^'

B

Рис. 1. Електричне коло з двома вузлами.

Це коло має чотири гілки і потрібно обчислити значення чотирьох невідомих струмів. Кожна гілка містить джерело живлення і опір навантаження. Напрямок і кількість джерел ЕРС і опорів в гілках наведено для кожного з 5 кіл в таблиці 1, розрахункові дані – в таблиці 2. Опори навантаження R₁^'- R₄^' – повні опори кожної гілки і потребують обчислення. Взагалі, це сума послідовно з’єднаних опорів навантаження та внутрішніх опорів джерел ЕРС (якщо вони наведені в розрахункових даних). Напрямки струмів рекомендовано обрати до вузла А, незалежні контури - обходити за годинниковою стрілкою; контурні струми спрямовувати за годинниковою стрілкою.

1.Метод законів Кірхгофа

Для електричного кола на рис.1 необхідно скласти чотири рівняння з чотирма невідомими, користуючись першим та другим законами Кірхгофа. За першим законом складають рівнянь на одиницю менше, ніж кількість вузлів кола. Решту рівнянь складають за другим законом для незалежних контурів.

Коло має два електричних вузла, тому за першим законом Кірхгофа складаємо одне рівняння (для вузла А):

І₁ + І₂ + І₃ + І₄ = 0 (1)

Для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа треба обрати незалежні контури. Можливо декілька варіантів.

а). Перший незалежний контур складають перша та друга гілки кола, другий -

А

I₁

І₂ І₃ І₄

E₁ E₂ E₃ E₄

R₁^' R₂^' R₃^' R₄^'

В

Рис. 2. Розрахункове електричне коло (варіант а).

перша та третя, третій – перша та четверта. Рівняння для цих контурів мають вигляд:

І₁R₁ ^'- І₂R₂^' = Е₁₂ (2)

І₁R₁^' - І₃R₃^' = Е₁₃ (3)

І₁R₁^' - I₄R₄^' = E₁₄ (4)

де Е₁₂ , Е₁₃ , Е₁₄ - алгебраїчні суми ЕРС 1 – 3 контурів відповідно.

З урахуванням рівняння за першим законом Кірхгофа запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь в матричній формі:

I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0 (5)

I₁R₁^' - I₂R₂^' + 0 + 0 = E₁₂ (6)

I₁R₁^' + 0 – І₃R₃^' + 0 = E₁₃ (7)

I₁R₁^' + 0 + 0 – I₄R₄^' = E₁₄ (8)

1 1 1 1 І₁ 0

R₁^' - R₂^' 0 0 I₂ E₁₂

R₁^' 0 - R₃^' 0 I₃ = E₁₃

R₁^' 0 0 - R₄^' I₄ E₁₄

Матриця [R] – квадратна, розмір якої відповідає кількості рівнянь. Елементами є коефіцієнти перед невідомими струмами: 1 – в рівнянні, складеному за першим законом Кірхгофа ; R₁^' - R₄^' - в рівняннях, складених за другим законом Кірхгофа. Для струма гілки, яку не містить даний контур, елемент матриці дорівнює 0.

Головний визначник системи

1 1 1 1

R₁^' -R₂^' 0 0

Δ = R₁^' 0 -R₃^' 0

R₁^' 0 0 -R₄^'

Допоміжний визначник системи

0 1 1 1

E₁₂ - R₂^' 0 0

Δ₁ = E₁₃ 0 - R₃^' 0

E₁₄ 0 0 -R₄^'

Його отримують заміною першого стовпця стовпцем вільних членів матриці.

Якщо головний визначник системи Δ ≠ 0, система – визначена; вона має одне рішення: невідомі струми розраховуються за формулами Крамера:

І₁ = Δ / Δ₁ ; І₂ = Δ / Δ₂ ; І₃ = Δ / Δ₃ ; І₄ = Δ / Δ_{4 .}

У нашому випадку можливо обчислити струм І₁. Інші невідомі струми обчислюємо із рівнянь (2– 4), складених за другим законом Кірхгофа.

Обчислення визначників четвертого і вищого порядків можливо при використанні властивостей визначників [2].

Отже,

Δ = - [ R₁^' R₂^' (R₃^' + R₄^') + R₃^' R₄^' (R₁^' + R₂^')];

Δ₁ = -[E₁₂ R₃^' R₄^' + E₁₃ R₂^' R₄^' + E₁₄ R₂^' R₃^'].

б). В цьому варіанті вибору незалежних контурів ( перший – перша та четверта гілки, другий – друга та четверта гілки, третій – третя та четверта гілки ) рівняння, складені за другим законом Кірхгофа, мають вигляд:

I₁ R₁^' - I₄ R₄^' = E₁₄

I₂ R₂^' - I₄ R₄^' = E₂₄

I₃ R₃^' -I₄ R₄^' = E₃₄

З урахуванням рівняння за першим законом Кірхгофа система лінійних алгебраїчних рівнянь в матричній формі має вигляд:

А

І₁ І₂ І₃ І₄

E₁ E₂ E₃ E₄

R₁^' R₂^' R₃^' R₄^'

В

Рис.3. Розрахункове електричне коло (варіант б).

I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0

I₁ R₁^' + 0 + 0 - I₄ R₄^' = E₁₄

0 + I₂ R₂^' + 0 - I₄ R₄^' = E₂₄

0 + 0 + I₃ R₃^' - I₄ R₄^' = E₃₄

1 1 1 1 I₁ 0

R₁^' 0 0 - R₄^' I₃ E₁₄

0 R₂^' 0 - R₄^' I₃ = E₂₄

0 0 R₃^' - R₄^' I₄ E₃₄

Головний визначник

1 1 1 1

R₁^' 0 0 -R₄^' = - [ R₁^' R₂^' (R₃^' + R₄^') + R₃^' R₄^' (R₁^' + R₂^')].

Δ = 0 R₂^' 0 -R₄^'

0 0 R₃ -R₄^'

Допоміжний визначник

0 1 1 1

E₁₄ 0 0 -R₄^' = -[ E₁₄ (R₂^' R₃^' + R₂^' R₄^' + R₃^' R₄^') +

Δ₁ = E₂₄ R₂^' 0 -R₄^' + E₂₄ R₃^' R₄^' + E₃₄R₂^' R₄^'].

E₃₄ 0 R₃^' -R₄^'

в) В цьому варіанті вибору незалежних контурів ( перший – перша та друга

А

І₁ І₂ І₃ І₄

E₁ E₂ E₃ E₄

R₁^' R₂^' R₃^' R₄^'

В

Рис.4. Розрахункове електричне коло (варіант в).

гілки, другий – друга та третя гілки, третій – третя та четверта гілки ) система лінійних алгебраїчних рівнянь в матричній формі має вигляд:

I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0

I₁ R₁^' – I₂ R₂^' + 0 + 0 = E₁₂

0 + I₂ R₂^' - I₃R₃^' + 0 = E₂₃

0 + 0 + I₃R₃^' - I₄ R₄^' = E₃₄

1 1 1 1 I₁ 0

R₁^' -R₂^' 0 0 I₂ E₁₂

0 R₂^' - R₃^' 0 I₃ = E₂₃

0 0 R₃^' -R₄^' I₄ E₃₄

+

Головний визначник

1 1 1 1

R₁^' - R₂^' 0 0 = - [R₁^'R₂^' (R₃^'+ R₄^') + R₃^'R₄^'(R₁^'+ R₂^')].

Δ = 0 R₂^' - R₃^' 0

0 0 R₃^' -R₄^'

Допоміжний визначник

0 1 1 1

E₁₂ - R₂^' 0 0 = - [E₁₂ (R₂^' R₃^' + R₂^' R₄^' + R₃^' R₄^') + E₂₃ (R₂^'х

Δ₁ = E₂₃ R₂^' - R₃^' 0 R₃^' + R₂^' R₄^') + E₃₄R₂^' R₃^'].

E₃₄ 0 R₃^' - R₄^'

2. Метод контурних струмів

А

І₁ І₂ І₃ І₄

E₁ E₂ E₃ E₄

I

R₁^' I_К1 R₂^' І_К2 R₃^' І_К3 R₄^'

В

Рис. 5. Розрахункове коло для метода контурних струмів.

В цьому методі складаються рівняння за другим законом Кірхгофа, що можливо завдяки використанню суто розрахункових, так званих контурних струмів; останні замикаються лише через незалежні контури, які обрані для аналізу.

Коло на рис. 5 має три дотичних незалежних контури (саме їх обрано для аналізу – можливі й інші варіанти); в кожному з них протікає свій контурний струм – І_К1 , І_К2 та І_К3 . При складанні рівнянь згідно з другим законом Кірхгофа треба враховувати вплив сусідніх контурних струмів, які перебігають по гілці ( при їх наявності). Таким чином, для обраних незалежних контурів система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд:

I_К1(R₁^' + R₂^') - I_К2 R₂^' = E₁

I_К2(R₂^' + R₃^') - I_К1R₂^' - I_К3 R₃^' = E₁₁

I_К3(R₃^' + R₄^') - I_К2R₃^' = E₁₁₁

де Е₁ , Е₁₁ , Е₁₁₁ - алгебраїчні суми джерел ЕРС незалежних контурів.

Розв’язання цієї системи рівнянь дає змогу визначити шукані контурні струми. Реальні струми в гілках знаходять як алгебраїчну суму контурних струмів, які перебігають по кожній гілці:

І₁ = І_К1 (струми в гілці співпадають);

І₂ = І_К2 - І_К1(з струмом І₂ співпадає контурний струм І_К2, І_К1 - ні);

І₃ = І_К3 - І_К2(з струмом І₃ співпадає контурний струм І_К3, І_К2- ні);

І₄= - І_К3 (струми в гілці не співпадають).

Рівняння для контурних струмів можливо записати у матричній формі:

R₁₁ - R₁₂ -R₁₃ I_К1 E₁

-R₂₁ R₂₂ -R₂₃ I_К2 = E₁₁

-R₃₁ -R₃₂ R₃₃ I_К3 E₁₁₁

Діагональні елементи R₁₁ , R₂₂ , R₃₃ матриці [R] мають назву власних опорів контурів і дорівнюють сумі опорів навантаження, що містить даний контур. Інші елементи дорівнюють опорам суміжних гілок з додатнім знаком, якщо напрямки контурних струмів в гілках співпадають, від’ємним – не співпадають. Якщо контури не мають спільних гілок, відповідні елементи матриці дорівнюють нулю.

Для кола на рис. 5

R₁₁ = R₁^'+ R₂^' ; R₂₂ = R₂^'+ R₃^' ; R₃₃ = R₃^'+ R₄^' .

R₁₂ = R₂₁ = R₂^' ; R₂₃ = R₃₂ = R₃^' .

Головний визначник обчислюється за «правилом Саррюса» [2] (приписуються перші два стовпці ):

R₁₁ -R₁₂ -R₁₃ R₁₁ -R₁₂

Δ = -R₂₁ R₂₂ -R₂₃ -R₂₁ R₂₂ = [ R₁^' R₂^' (R₃^' + R₄^') + R₃^' R₄^' (R₁^' + R₂^') ] .

-R₃₁ -R₃₂ R₃₃ -R₃₁ -R₃₂

Допоміжні визначники :

E₁ -R₁₂ -R₁₃ R₁₁ E₁ -R₁₃ R₁₁ -R₁₂ E₁

Δ₁ = E₁₁ R₂₂ -R₂₃ ; Δ₂ = -R₂₁ E₁₁ -R₂₃ ; Δ₃ = -R₂₁ R₂₂ E₁₁

E₁₁₁ -R₃₂ R₃₃ -R₃₁ E₁₁₁ R₃₃ -R₃₁ -R₃₂ E₁₁₁

Шукані контурні струми обчислюються за формулами Крамера:

І_К1 = Δ / Δ₁ ; І_К2 = Δ / Δ₂ ; І_К3 = Δ / Δ₃ .

Після цього обчислюють струми гілок І₁- І₄ .

3. Баланс потужностей

Точність розрахунків необхідно перевірити, склавши баланс потужностей, згідно з яким сума потужностей, що розсіюється на опорах навантаження, дорівнює алгебраїчній сумі потужностей джерел ЕРС:

( ±Е_і І_і ) = І_і² R_і

Правило знаків: з додатнім записують потужність джерел, які працюють в режимі генератора, з від’ємним – потужність джерел, які працюють в режимі споживача.

Для визначення режиму роботи джерела потрібно порівняти напрямок ЕРС джерела і реального струму в цій гілці. Якщо ці напрямки співпадають, джерело ЕРС працює в режимі генератора, якщо ні – в режимі споживача електричної енергії.

Допустиме розходження для технічних розрахунків складає ±1%.

4. Приклад розрахунку

А

І₁ І₂ І₃ І₄

R₂

E₁ E₂ E₃

R₁ І_К1 R₃ І_К2 R₄ І_К3 R₅

В

Рис. 6

E₁ = 30 B; E₂ = 50 B; E₃ = 70 B. R₁ = 5 Ом; R₂ = 8 Ом; R₃ = 2 Ом; R₄ = 20 Ом;

R₅ = 15 Ом.

а) метод законів Кірхгофа.

За основу обираємо, наприклад, схему електричного кола на рис. 2. На схемі рис. 6 покажемо напрямок струмів І₁ – І₄ ( до вузла А ) і обрані незалежні контури. Обчислимо опори R₁^' – R₄^' (схема рис. 2):

R₁ ^'= R₁ = 5 Oм; R₂^' = R₂ + R₃ = 8 + 2 = 10 Oм; R₃^' = R₄ = 20 Oм; R₄^' = R₅ = 15 Oм.

Е₁₂ = Е₁ = 30 В; Е₁₃ = Е₁ + Е₂ = 30 + 50 = 80 В; Е₁₄ = Е₁+ Е₃ = 30 + 70 = 100 В.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь після з урахуванням обчислених вище величин має такий вигляд:

І_{1 _}+ І₂ + І₃ + І₄ = 0

5І₁ – 10І₂ = 30

5І₁ – 20І₃ = 80

5І₁ – 15І₄ = 100

У матричній формі

І₁ + І₂ + І₃ + І₄ = 0

5 І₁ - 10 І₂ + 0 + 0 = 30

5 І₁ + 0 - 20 І₃ + 0 = 80

5 І₁ + 0 + 0 - 15 І₄ = 100

Обчислюємо визначники:

Δ = - [ R₁^' R₂^'(R₃^'+ R₄^') + R₃^' R₄^'(R₁^'+ R₂^') ] = - [ 5x10(20+15)+20x15(5+10) ] = - 6250;

Δ₁ = - [ E₁₂R₃^'R₄^' + E₁₃R₂^'R₄^' + E₁₄R₂^'R₃^' ] = - [ 30x20x15+80x10x15+100x10x20 ]=

-41000.

Струми:

І₁= Δ₁ / Δ = -41000 / -6250 = 6,56 A;

I₂ = (5I₁ – 30) / 10 = (5x6,56 – 30) / 10 = 0,28 A;

I₃ = (5I₁ – 80) / 20 = (5x6,56 – 80) / 20 = -2,36 A;

I₄ = (5I₁ – 100) / 15 = (5x6,56 – 100) / 15 = -4,48 A.

Баланс потужностей запишемо згідно обраних напрямків струмів та заданих умовами задачі напрямків джерел ЕРС в гілках:

Е₁I₁ – E₂I₃ – E₃I₄ = I₁²R₁+ I₂²(R₂+R₃) + I₃²R₄ + I₄²R₅

30x6,56 – 50(-2,36) – 70(-4,48) = (6,56)²x5 + (0,28)²x10 + (-2,36)²x20 + (-4,48)²x15

628,4 = 628,4

Отже, шукані струми визначено вірно.

б) метод контурних струмів.

Розрахункова схема представлена на рис. 5. Обчислимо елементи матриці:

R₁₁ = R₁^' + R₂^'= 5+10=15 Ом ; R₂₂ = R₂^' + R₃^' = 10+20=30 Ом; R₃₃ = R₃^' + R₄^' = 20+15=35 Ом.

R₁₂ = R₂₁ = R₂^' = 10 Ом; R₂₃ = R₃₂ = R₄^' =20 Ом;R₁₃ = R₃₁ = 0 ; E₁ = E₁ = 30 B; E₁₁ = =E₂ = 50 B; E₁₁₁ = E₃ – E₂ = 70-50=20 B.

Головний визначник

Δ = [ R₁^' R₂^'(R₃^'+R₄^') + R₃^'R₄^'(R₁^'+R₂^') ] = [ 5x10(20+15) + 20x15(5+10) = 6250;

Допоміжні визначники

30 -10 0 30 -10

Δ₁ = 50 30 -20 50 30 = 30х30х35+(-10)х(-20)х20+0х50х(-20)-

20 -20 35 20 -20 (-20)х30х0-(-20)х(-20)х30-

- - - + + + -35х50х(-10)= 41000;

15 30 0 15 30

Δ₂ = - 10 50 -20 -10 50 = 15х50х35+30х(-20)х0+0х(-10)х20-0х50х0-

0 20 35 0 20 -20х(-20)х15-35х(-10)х30= 42750;

- - - + + +

15 -10 30 15 -10

Δ₃ = -10 30 50 -10 30 = 15х30х20+(-10)х50х0+30х(-10)х(-20)-

0 -20 20 0 -20 -0х30х30-(-20)х50х15-20х(-10)х(-10)=.

- - - + + + 28000.

Обчислюємо контурні струми:

І_К1 = Δ₁ / Δ = 41000/6250 = 6,56 А; І_К2 = Δ₂ / Δ = 42750/6250 = 6,84 А; І_К3 = Δ₃ / Δ =

28000/6250 = 4,48 А.

Шукані струми:

І₁ = І_К1 = 6,56 А, І₂ = І_К2 – І_К1 = 6,84 – 6,56 = 0,28 А, І₃ = І_К3 – І_К2 = 4,48 – 6,84 = -2,36 А, І₄ = - 4,48 А.

Тобто струми співпадають з обчисленими методом законів Кірхгофа.

Варіанти схем для розрахунків Tабл. 1.

Номер	С х е м а
I
II
III
IV
V

Табл. 2.

Чисельні дані для розрахунків

Список літератури

1. В.І. Черненко, Ю.Е. Удовенко. Електротехніка та промислова електроніка. – Київ: ІЗМН, 1996. – 503 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Изд. «Наука», 1964. – 763 с.

3. Павлюс С.Г., Замурніков В.М. Методичні вказівки до розрахункових робіт з електротехніки для студентів ІІ курсу механічних та технологічних спеціальностей. – Дніпропетровськ: УДХТУ, 2006. – 46 с.

.