Основные операции над матрицами

Сложение матриц. Суммой двух матриц и одной и той же размерности называется матрица той же размерности такая, что .

Итак, можно складывать только матрицы одной и той же размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы.

Пример 1.6.

Найдите сумму матриц и .

— нуль-матрица размерности .

Из определения суммы следует, что сложение матриц подчинено:

а) коммутативному закону ;

б) ассоциативному закону

;

в) — закон поглощения нуля.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число (или на матрицу ) называется матрица , где , т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Пример 1.7.

2 .

Свойства операции умножения матрицы на число:

а) (ассоциативность);

б) (дистрибутивность относительно сложения чисел);

в) (дистрибутивность относительно сложения матриц);

г) .

Пример 1.8.

Найдите , где , .

.

Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности такая, что , , .

Умножать матрицы и можно лишь в том случае, когда число столбцов первого сомножителя (число элементов в каждой строке матрицы ) совпадает с числом строк второго сомножителя (число элементов в каждом столбце ). В частности для квадратных матриц одинакового порядка определены оба произведения и , и матрицы произведения являются матрицами того же порядка

Пример 1.9.Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

Произведение не существует, так как число столбцов матрицы не совпадает с числом строк матрицы .

Пример 1.10.Пусть , . Найдите произведения и (если это возможно).

.

.

Из приведенных выше примеров ясно, что в общем случае .

Перестановочными называют матрицы и , если для них выполнено условие .

Свойства операции умножения матриц:

а) ассоциативность: если определено одно из произведений или , то определено также и второе произведение, и имеет место выше приведённое равенство ;

б) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

в) дистрибутивность: если — такая матрица, что определено произведение , то определены произведения и и верно равенство ( и — матрицы одинаковых размеров);

г) .