Матрицы и операции над ними.

1.1. Основные определения. Матрицей размера называют прямоугольную таблицу, состоящую из m строк и n столбцов:

Действительные числа называются элементами матрицы. Первый индекс обозначает номер строки, второй – номер столбца.

Обычно матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С и т.д. или ( ), ( ), ( ) и т.д.

Строки матрицы будем обозначать , а столбцы - .

Если количество столбцов равно количеству строк (m=n), то матрицу называют квадратной. У квадратной матрицы можно выделить главную диагональ – множество элементов, номера столбцов и строк которых совпадают: . Побочной диагональюназывают множество элементов .

Если все элементы матрицы вне главной диагонали равны нулю, т.е. матрица имеет вид

то такая матрица называет диагональной. Если же при этом все диагональные элементы равны между собой, т.е. то матрица называется скалярной. А если то матрицу называют единичнойи обозначают E_n:

1.2. Операции над матрицами. Введем алгебраические операции на множестве матриц.

А). Сложение.

Пусть и - матрицы одинакового размера. Тогда суммой матриц и является матрица того же размера, элементы которой - это суммы соответствующих элементов матриц и :

Очевидно, что сложение матриц коммутативно.

Б). Умножение матрицы на число.

Пусть – матрица размера , - произвольное действительное число. Тогда в результате умножения матрицы на число получится матрица , элементы которой являются результатом умножения соответствующих элементов матрицы на число :

Матрица имеет, очевидно, тот же размер, что и матрица .

Из свойств коммутативности и ассоциативности умножения действительных чисел сразу же следует, что

В). Умножение матриц.

Пусть – матрица размера , а – матрица размера . Определим матрицу следующим образом:

Необходимо подчеркнуть, что размеры матриц должны соответствовать друг другу: количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй.

Свойства умножения.

1) Некоммутативность - вообще говоря, очевидна, хотя бы из соображений, касающихся размеров матриц. Если матрица имеет размер , а матрица - , то произведение определено корректно. Но если при этом , то произведение определить нельзя. Может быть, коммутируют квадратные матрицы?

Первый же случайный пример

показывает некоммутативность умножения.

Задача 1. Пусть квадратная матрица перестановочна со всеми квадратными матрицами того же размера, т.е. для любой матрицы верно равенство . Докажите, что матрица скалярная.

Попробуйте доказать это хотя бы для матриц размеры 2х2. ( Указание. В качестве возьмите так называемые элементарные матрицы :

.

Это матрица, все элементы которой равны 0, кроме элемента, стоящего на пересечении -й строки и -го столбца.

2) Ассоциативность. Для любых матриц А,В и С, размеры которых соответственно равны , справедливо равенство .

Доказательство этого свойства формально. Введем некоторые обозначения. Пусть Е = ВС, F = AE = A(BC), G = AB, H = GC = (AB)C. Тогда:

Значит, F = H, т.е. А(ВС) = (АВ)С.

Г). Транспонирование.

Пусть А – матрица размера . Транспонированнойк А матрицей – обозначается - будем называть матрицу размера , столбцы которой совпадают с соответствующими строками исходной матрицы, а строки – с соответствующими столбцами исходной матрицы. Иначе,

Пример:

Для квадратной матрицы транспонирование можно представить себе как симметрию относительно главной диагонали.

Задача 2. Докажите, что

1.3. Связь с системами линейных уравнений.Пусть дана система из линейных уравнений с неизвестными:

(*)

Матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, будем называть матрицей системы:

.

Пусть

- столбец неизвестных (матрица ),

- столбец правых частей (матрица ).

Тогда система (*) может быть записана в матричном виде: .

Если к матрице А справа добавить столбец правых частей В, то получится матрица, которую называют расширенной:

1.4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.Пусть дана система линейных уравнений:

Решениемсистемы линейных уравнений называется набор чисел , при подстановке которых в уравнения вместо соответствующих переменных получаются верные числовые равенства.

Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Если это решение единственное, она называется определенной. Если система не имеет решений, она называется несовместной.

Система называется однородной, если все правые части равны нулю: Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, система называется неоднородной.

Заметим, что однородная система всегда совместна: она имеет нулевое решение Это решение обычно называют тривиальным.