Под стандартной матричной проблемой собственных значений мы понимаем задачу отыскания комплексных чисел λ1, λ2, …, λn и соответствующих ненулевых векторов X1, …, Xn удовлетворяющих уравнению АХ=λХ, где А – заданная комплексная матрица размера nxn. Решения этого уравнения являются корнями характеристического уравнения det(А–λЕ)=0. Левая часть этого уравнения есть полином степени n по λ, и, следовательно, характеристическое уравнение имеет ровно n корней. Если собственное значение λi найдено, то соответствующий собственный вектор можно определить как решение однородной системы уравнений (А–λiЕ)Х=0.
Пусть
D(λ)=λn+p1λn-1+…+pn
есть вековой определитель матрицы А, т.е. det(А–λЕ)=0. Если в этом равенстве последовательно положить i=0, 1, 2, …, n-1, то для коэффициентов рi (i=1, 2, …, n) получим систему линейных уравнений, решая которую, можно определить коэффициенты характеристического полинома. Найдя коэффициенты, с помощью метода Ньютона определяем собственные значения, а затем – собственные векторы.
/*Выполняем переименование используемых типов с заменой шаблона типом complex - нам вероятно придется иметь дело с комплексными корнями полиномов
*/
typedef polynom<complex> cpolynom;
typedef vector<complex> cvector;
typedef matrix<complex> cmatrix;
//Прототипы функций
cvector eigenval(cmatrix&);
cmatrix eigenvec(cmatrix&, cvector&);
/*Подпрограмма вычисления собственных значений произвольной матрицы по методу неопределенных коэффициентов */
cvector eigenval(cmatrix &x)
{
if(x.getn()!=x.getm())
throw xmsg("Для неквадратных матриц собственные значения не определены \n");
/*Вид характеристического полинома хорошо известен - это обычный полином n степени с (n+1)-им коэффициентом. Для того, чтобы найти эти коэффициенты, используем следующий способ: характеристический полином прямыми методами получается развёрткой детерминанта, и значение полинома в некоторой точке х соответствует значению детерминанта матрицы, из диагональных элементов которой вычтен х. Тогда, взяв набор из (n+1) несовпадающих точек, мы можем составить систему из n уравнений, линейных относительно коэффициентов характеристического полинома. Результатом решения этой системы и будут искомые коэффициенты, зная которые, мы можем найти корни полинома, и являющиеся искомыми собственными значениями */
cmatrix a(x.getm()+1,x.getm()+1),b(x.getm()+1,1);
for(long i=0;i<a.getm();i++)//набор точек
{
for(long j=0;j<a.getm();j++)/*вычисляем степени при коэффициентах*/
a[i][j]=pow(i,a.getm()-j-1);
cmatrix temp=x;
for(long j=0;j<temp.getm();j++)
temp[j][j]-=i;/* вычитаем из элементов главной диагонали текущую точку и находим детерминант*/
b[i][0]=det(temp);
}
cmatrix result=SLAE_Orto(a,b);//решаем СЛАУ
cpolynom lambdaeq=result.getm();
for(long i=0;i<result.getm();i++)/*формируем характеристический полином и находим*/
lambdaeq[i]=result[result.getm()-i-1][0];
return newton(lambdaeq);/*его корни модифицированным методом Ньютона*/
}
/*Подпрограмма вычисления собственных векторов при известных матрице и её собственных значениях*/
cmatrix eigenvec(cmatrix &x, cvector &e)
{
if(x.getn()!=x.getm())
throw xmsg("Для неквадратных матриц собственные вектора не определены \n");
/*Для нахождения ненулевого решения однородной системы уравнений проделаем следующее: примем одну из компонент вектора равной 1. Затем перенесём в системе уравнений в правую часть с противоположным знаком столбец, соответствующий этой компоненте. Решив такую СЛАУ, мы найдём все остальные компоненты вектора. Для того, чтобы вектора не совпадали, для каждого из них "объединичим" свою компоненту - сначала первую, затем - вторую и т.д. */
cmatrix a(temp.getm()-1,temp.getm()-1),
b(temp.getm()-1,1);/*матрицы для СЛАУ*/
for(long k=0;k<a.getm();k++)
for(long j=0,l=0;j<temp.getm();j++)
if(j==i)/*компоненту вектора, номер которой соответствует номеру собственного значения, сделаем равным 1, а соответствующий столбец переносим в правую часть; все остальное остаётся в левой части*/
b[k][0]=-temp[k][j];
else
a[k][l++]=temp[k][j];
cmatrix res=SLAE_Orto(a,b);/*решаем СЛАУ относительно неизвестных составляющих*/
for(long j=0,l=0;j<ev.getm();j++)/*компонуем собственный вектор*/
ev[i][j]=((i==j)?complex(1,0):res[l++][0]);
ev[i]=~ev[i];/*для удобства нормируем его по модулю*/
