Метод ортогонализации для решения СЛАУ

Метод позволяет осуществить его реализацию при помощи чрезвычайно компактного алгоритма и компьютерной программы, не требует никаких проверок сходимости и сколько-нибудь существенных преобразований исходной системы, операция деления на коэффициенты матрицы в нем отсутствует, а имеющаяся операция деления на норму вектор-строки является намного безопасней, так как вектор нулевой длины не может присутствовать в невырожденной матрице. Все сказанное обусловило его широкое использование в прикладных задачах.

Сущность метода ортогонализации в следующем.

Перенесем свободные члены всех уравнений системы в левые части, будем считать их (n+1)-ми составляющими векторов a_i и положим x_n+1=1.

Получим систему в виде

(i=1, 2, …, n)

Суммы в левых частях уравнений можно интерпретировать как скалярные произведения векторов (a, x); в этом случае искомым решением системы будет некоторый вектор x в (n+1)-мерном пространстве, ортогональный базису, образованному системными векторами а_i.

Так как сам базис в общем случае не ортонормирован, то необходима дополнительная процедура построения системы взаимно ортогональных векторов, выражающихся линейно через исходные векторы а_i, чтобы не изменить решение системы. Выполним это так:

Первый вектор-строку образуем просто делением исходного на его длину:

b₁= .

Из второго вычтем вектор, равный по длине проекции второго на направление первого:

b₂=a₂–(a₂, b₂)b₁

и отнормируем

b₂= .

Из третьего вычтем уже 2 составляющие

b₂=a₃(a₃, b₁)b₁–(a₃, b₂)b₂

и отнормируем по модулю и т.д.

Добавим к векторам a_i линейно независимый от них произвольный вектор a_n+1 и, когда до него дойдет очередь, проведем с ним такую же процедуру ортогонализации всем векторам a_i (i=1, 2,…, n). Останется смасштабировать его делением на b_n+1,n+1, так как последний по договоренности равен 1. Его первые n составляющих и образуют искомый вектор решения.

Всю описанную процедуру рекомендуют повторить от 3 до 5 раз для повышения точности результата.