Основные характеристики функции

1. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется четной, если " xÎ D выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=ƒ(х); нечетной, если " xєD выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=-ƒ(х).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.

Например, у=х², у=√(1+х²), у=ln|х| — четные функции; а у=sinx, у=х³ — нечетные функции; у=х-1, у=√x — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве D и пусть D ₁єD. Если для любых значений х ₁;x₂єD₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: ƒ(x ₁)<ƒ(х₂), то функция называется возрастающей на множестве D ₁; f(x₁) ≤ ƒ(х₂), то функция называется неубывающей на множестве D₁; f(x₁)>ƒ(х₂), то функция называется убывающей на множестве D₁; ƒ(х₁)≥ƒ(x₂), то функция называетсяневозрастающей на множестве D₁.

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (-2; 1) и (3; 5); монотонна на (1;3).

3. Функцию у=ƒ(х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех хєD выполняется неравенство |ƒ(х)|≤М (короткая запись: у=ƒ(х), хєD, называется ограниченной на D, если $М>0: xєD ==>|ƒ(х)|≤М). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у=-М и у=М (см. рис. 101).

4. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при каждом хєD значение (х+Т)єD и ƒ(х+Т)=ƒ(х). При этом число Т называется периодом функции. Если Т— период функции, то ее периодами будут также числа m•Т, где m=±1;±2,... Так, для у=sinx периодами будут числа ±2p;±4p; ±6p,... Основной период (наименьший положительный) — это период Т=2p. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству ƒ(х+Т)=ƒ(х).